Продолжение. См. № 1, 3, 5, 7, 9, 15/05

С.С.Чесноков, С.Ю.Никитин, И.П.Николаев,
Н.Б.Подымова, М.С.Полякова, проф. В.И.Шмальгаузен,
физфак МГУ, г. Москва
chesnok@msuilc.phys.msu.su

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет

вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2004 г.

III. Электродинамика (окончание)

5 Стеклянная цилиндрическая трубка, открытая с обеих сторон, расположена горизонтально внутри барокамеры, где давление воздуха составляет p₀=450 Па. Внутрь трубки помещены два тонких металлических поршня, способных скользить без трения. Поршни находятся в равновесии, когда расстояние между ними d₀=2 см. С помощью гибких проводников поршни подсоединяют к клеммам высоковольтного источника напряжением U = 60 кВ. Каково будет расстояние d между поршнями после того, как они займут новое положение равновесия? Электрическая постоянная ₀ = 9•10^–12 Ф/м. Температура воздуха не изменяется. Электрическое поле между поршнями считать однородным. Поляризацией материала трубки пренебречь.

Решение

При подключении к поршням напряжения между ними возникает сила электростатического притяжения F = qE, где q – заряд на одном из поршней, – напряжённость электрического поля, создаваемого другим поршнем, S – площадь поршня. Поршни образуют плоский конденсатор, поэтому Отсюда

Под действием этой силы поршни переместятся и займут новое положение равновесия, определяемое условием

где p₁ – давление воздуха в объёме между поршнями. Поскольку температура воздуха постоянна,

Объединяя записанные выражения, получаем квадратное уравнение относительно d:

и находим его корни: 

Чтобы определить, какой из корней удовлетворяет условию задачи, устремим Видно, что при этом Поскольку в отсутствие напряжения между поршнями расстояние между ними равно d₀, мы должны выбрать больший по величине корень. Получаем

6 В стеклянной трубке, запаянной с обеих сторон, находится идеальный газ под давлением p₀ = 500 Па. В один из торцов трубки вмонтирован электрод, занимающий всё сечение трубки S = 100 см². Внутри трубки может перемещаться без трения поршень, несущий электрический заряд Q₁=6•10^–7 Кл. Первоначально электрод не заряжен, а поршень делит трубку на две равные части. Какой положительный заряд Q₂ нужно сообщить электроду для того, чтобы поршень стал делить трубку в отношении 3 : 1? Электрическая постоянная ₀=9•10^–12 Ф/м. Температура газа не изменяется. Электрическое поле между поршнем и электродом считать однородным. Поляризацией материала трубки и толщиной поршня пренебречь.

Решение

При сообщении электроду заряда Q₂ между ним и поршнем возникает сила электростатического отталкивания F = Q₂E, где – величина напряжённости электрического поля, создаваемого поршнем. Отсюда   Переместившийся под действием этой силы поршень займет новое положение равновесия, условие которого имеет вид: p₁S = p₂S + F.

Здесь p₁ и p₂ – давления порций газа, находящихся по разные стороны от поршня. Обозначив через V₀ объём половины трубки, по закону Бойля–Мариотта, записанному для этих порций газа, имеем:

Отсюда:

и

Следовательно,

Сравнивая это выражение с выражением для F, найденным выше, получаем

7 Аккумулятор отдаёт во внешнюю цепь мощность N₁ = 10 Вт при токе I₁ = 4 А. Какую мощность N₂ отдаст аккумулятор во внешнюю цепь при токе I₂ = 8 А? Внутреннее сопротивление аккумулятора r = 0,1 Ом.

Решение

Различие между мощностями, выделяемыми во внешней цепи в первом и во втором случаях, связано с тем, что к аккумулятору подключают нагрузки с разными сопротивлениями. Обозначив через ЭДС аккумулятора, имеем:

Находя из первого уравнения ЭДС аккумулятора и подставляя её во второе уравнение, получаем

8 Генератор постоянного тока соединён с потребителем (полезной нагрузкой) линией электропередачи, имеющей сопротивление R = 10 Ом. ЭДС генератора
=500 В, его мощность N = 10 кВт. Определить отношение мощности, выделяемой в полезной нагрузке, к мощности генератора. Внутренним сопротивлением генератора пренебречь.

Решение

Пусть Rн – сопротивление нагрузки. Ток в цепи равен мощность генератора выражается так:

Отсюда 

Мощность, выделяющаяся в нагрузке,

Искомое отношение равно Подставляя найденное значение Rн, получаем

9 Маленький шарик массой m, несущий положительный заряд q, подвешен на нити длиной l и помещён в  однородное магнитное поле индукцией B, направленной горизонтально от нас. Сообщив шарику некоторую скорость, направление которой показано на рисунке, его приводят в движение по окружности в вертикальной плоскости, перпендикулярной магнитному полю и совпадающей с плоскостью рисунка. При какой минимальной скорости _min шарика в нижней точке он сможет совершить полный оборот?

Решение

По условию задачи, магнитная индукция и начальная скорость частицы направлены так, как показано на  рисунке. Используя правило левой руки, легко установить, что сила Лоренца, действующая на шарик, во всех точках его траектории направлена к центру окружности. По второму закону Ньютона, записанному для шарика в верхней точке его траектории, имеем:

где T – натяжение нити, _в – модуль скорости шарика в верхней точке траектории. Уравнение движения шарика можно рассматривать, как квадратное уравнение относительно _в. Положительный корень этого уравнения равен

(Отрицательный корень должен быть отброшен, как не имеющий физического смысла.) Отметим, что скорость шарика н в нижней точке траектории минимальна, если в верхней точке натяжение нити обращается в нуль.

Магнитное поле работы не совершает, т.к. сила Лоренца перпендикулярна скорости шарика. Работа силы натяжения нити также равна нулю. Поэтому механическая энергия шарика сохраняется. Закон сохранения энергии дает соотношение

Подставляя сюда найденное выше _в и полагая Т = 0, находим _min:

Продолжение в №  19