Конкурс "Я иду на урок"

Интенсивность, давление и импульс электромагнитной волны

Урок 5-й из серии уроков на тему «Электромагнитные волны». См. № 24/08; 2, 4, 6/09

Цели обучения: ввести и сформировать понятия интенсивности, давления и импульса электромагнитной волны; теоретически и экспериментально обосновать эти понятия.

Цели развития: совершенствовать критичность мышления, умения рассуждать по аналогии; способности применять теоретические знания для объяснения физических явлений.

Цели воспитания: развивать волевые, мотивационные и толерантные характеристики личности.

Дидактические средства:

1. Мякишев Г.Я. Физика: Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений / Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев. – М.: Просвещение, 2004.
2. Касьянов В.А. Физика. 11 кл.: Учебн. для 11 кл. общеобразоват. учеб. заведений. – М.: Дрофа, 2002.
3. Электронная версия опорного конспекта урока; видеофрагменты демонстрационных опытов.
4. Комплект для изучения электромагнитных волн (выпускается ЗАО НПК «Компьютерлинк»), вольтметр, миллиамперметр, регулируемый источник напряжения.

5.1. Введение

Учитель. Сегодня мы продолжим знакомство с важнейшими характеристиками электромагнитной волны как материального объекта. Перенос энергии волной характеризуется специальной величиной, которая называется интенсивностью. Электромагнитная волна, падая на препятствие, оказывает на него давление. При этом препятствие приобретает импульс, следовательно, импульсом обладает само электромагнитное излучение. Давление и импульс доступной нам электромагнитной волны ничтожно малы, поэтому мы не сможем измерить их в учебных опытах. Однако мы сумеем объяснить их существование и оценить значения соответствующих величин.

5.2. Интенсивность электромагнитной волны

Учитель. Вспомните, как математически записывается гармоническая волна и как выражается её энергия.

Учащиеся. Уравнение для напряжённости электрического поля в гармонической электромагнитной волне имеет вид где

а плотность её энергии:

ω = ε₀εE². (5.2)

Учитель. Произведение плотности энергии на скорость волны называется поверхностной плотностью потока энергии j = ωυ.

Учащиеся. Неужели мы должны запомнить этот длинный термин?!

Учитель. Нет, конечно. Но авторы школьных учебников почему-то очень любят его, поэтому, если вы хотите получить высшее образование, познакомиться с этим термином и его фамильярным вариантом «плотность потока энергии», хочешь-не хочешь, а запомнить придётся.

Учащиеся. Тогда нужно по крайней мере понять, откуда он взялся.

Учитель. Волна, проходящая по нормали через площадку S за время t, занимает объём V = sυt (рис. 5.1). Так как плотность энергии равна энергии в единице объёма: ω = W/V, – то поверхностную плотность потока энергии можно записать в виде:

Отношение энергии волны W ко времени t, в течение которого она проходит через поверхность, называется потоком энергии. А отношение потока энергии к площади поверхности, через которую он проходит, естественно назвать поверхностной плотностью потока энергии.

Учащиеся. Теперь понятно, что это просто энергия, переносимая волной за единицу времени через единицу площади, или мощность излучения, проходящая через единицу площади.

Учитель. Выясните, как зависит поверхностная плотность потока энергии электромагнитной волны от её частоты.

Учащиеся. Из формул (5.1), (5.2) и (5.3) получаем:

Так как косинус здесь получился в квадрате, то поверхностная плотность потока энергии электромагнитной волны колеблется с частотой, в два раза превышающей частоту волны. Как измерить эту величину?

Учитель. Измеряют не мгновенное, а среднее по времени значение плотности потока энергии, которое называют интенсивностью волны. Вы хорошо знаете, что среднее значение квадрата косинуса равно 1/2. Подставляя его в предыдущую формулу и учитывая выражения для E_m (5.1) и для после небольших преобразований можно получить, что интенсивность гармонической волны равна

где K – постоянный коэффициент. Проанализируйте этот результат.

Учащиеся. Из формулы (5.4) следует, что интенсивность электромагнитной волны, испускаемой гармоническим осциллятором, при прочих равных условиях пропорциональна четвёртой степени её частоты и обратно пропорциональна квадрату расстояния, пройденного волной.

Учитель. Дайте ещё один вариант определения интенсивности волны и качественно объясните, почему интенсивность электромагнитной волны пропорциональна четвёртой степени её частоты.

Учащиеся. Интенсивность волны есть средняя по времени энергия W_cр, проходящая через единицу площади за единицу времени:

Значит, интенсивность пропорциональна энергии волны J ~ W_cр. А энергия пропорциональна квадрату напряжённости электрического поля W_cр ~E_m². В свою очередь напряжённость электрического поля пропорциональна ускорению излучающего волну заряда E_m ~ a_m, а ускорение пропорционально квадрату частоты колебаний заряда a_m ~ ω². Отсюда следует, что интенсивность пропорциональна четвёртой степени частоты:

J ~ W_cр ~ E_m² ~ a_m² ~ ω⁴. (5.6)

Учитель. Уточните, какие значения напряжённости и ускорения вы имеете в виду.

Учащиеся. Мы говорим об амплитуде напряжённости электрического поля E_m электромагнитной волны и амплитуде ускорения a_m гармонически колеблющегося заряда.

Учитель. А почему интенсивность обратно пропорциональна квадрату расстояния?

Учащиеся. Потому, что напряжённость электрического поля электромагнитной волны, созданной колеблющимся зарядом, обратно пропорциональна расстоянию до заряда, а интенсивность волны пропорциональна квадрату напряжённости.

5.3. Экспериментальное исследование излучения диполя

Учитель. На опыте исследуем зависимость интенсивности электромагнитной волны от расстояния до излучающего вибратора. Для этого рядом с лампой приёмного диполя (2,5 В; 0,15 А) расположим точно такую же лампу накаливания, через амперметр подключим её к регулируемому источнику постоянного напряжения и параллельно этой эталонной лампе включим вольтметр. Установим расстояние между излучающим и приёмным диполями 10 см и, регулируя напряжение источника, добьёмся, чтобы яркость эталонной лампы стала равна яркости приёмной (рис. 5.2, а). Тогда можно утверждать, что в эталонной лампе выделяется та же мощность, что и в приёмной. Вычислите её.

Учащиеся. Приборы показывают, что сила тока и напряжение на эталонной лампе соответственно равны I₁ = 0,111 А и U₁ = 1,8 В, значит, искомая мощность P₁ = U₁ I₁ = 0,20 Вт.

Учитель. Теперь удалим приёмный диполь на расстояние 20 см от излучающего, повторим измерения и сделаем выводы.

Учащиеся. Получилось I₂ = 0,087 А и U₂ = 1,2 В (рис. 5.2, б), поэтому P₂ = U₂ I₂ = 0,10 Вт. Отношение P₁ / P₂ равно двум, а не четырём, как следовало ожидать! Неужели в теории ошибка?

Учитель. Прежде чем менять теорию, посмотрим соответствуют ли её исходным данным условия эксперимента. Вспомним, при рассмотрении распространения энергии от излучающего диполя мы молчаливо предполагали, что она во все стороны излучается одинаково. Иначе говоря, мы допускали, что диполь является изотропным источником. В таком случае электромагнитная энергия равномерно распределяется по сферической поверхности. Так как площадь сферы S = 4πr² пропорциональна квадрату её радиуса, то мощность, приходящаяся на единицу площади, т.е. интенсивность волны, обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Учащиеся. Нужно исследовать, как излучает диполь по разным направлениям, и тогда сделать вывод об интенсивности излучения.

Учитель. Параллельно излучающему диполю располагаю приёмный так, чтобы яркость его лампы стала максимальной, и перемещаю его по окружности с центром в центре излучающего диполя (рис. 5.3). Сделайте вывод из результата эксперимента.

Учащиеся. Во всех точках окружности лампа приёмного диполя горит с одинаковым накалом. Значит, во всех направлениях, перпендикулярных излучающему диполю, интенсивность электромагнитной волны одинакова.

Учитель. Теперь я перемещаю и поворачиваю приёмный диполь в плоскости, проходящей через излучающий диполь (рис. 5.4). Делаю это так, чтобы приёмный диполь, двигаясь по окружности с центром в излучающем диполе, был направлен по касательной к этой окружности. Что вы наблюдаете и к какому выводу приходите?

Учащиеся. Лампа горит всё слабее по мере того, как приёмный диполь поворачивается относительно излучающего. Значит, соединённый с генератором диполь даёт максимум излучения в направлении, перпендикулярном диполю, и совершенно не излучает в направлении самого диполя.

Учитель. Если в полярной системе координат построить график зависимости интенсивности электромагнитной волны от угла между диполем и направлением излучения, то получится диаграмма направленности полуволнового диполя, подобная показанной на рис. 5.4 (длина стрелок пропорциональна интенсивности). Вернитесь теперь к опыту, в котором мы измеряли зависимость интенсивности электромагнитной волны от расстояния, и попробуйте объяснить его результат.

Учащиеся. Проделанный только что опыт показывает, что диполь не является изотропным источником электромагнитной волны: излучение распространяется в основном в плоскости, перпендикулярной излучающему диполю и проходящей через его центр. Значит, излучаемая энергия вблизи диполя приходится не на сферическую, а на цилиндрическую поверхность. Площадь боковой поверхности цилиндра пропорциональна его радиусу. Поэтому и интенсивность излучения диполя обратно пропорциональна не квадрату расстояния, а просто расстоянию до источника.

Учитель. Заметьте, что и приёмник не является изотропным: его чувствительность также зависит от направления, под которым на него падает волна. В теоретической модели мы полагали источник и приёмник точечными и изотропными. Нетрудно сообразить, что условия этой модели будут выполнены, если расстояние между источником и приёмником значительно превышает их размеры.

5.4. Давление и импульс электромагнитной волны

Учитель. Опыты показывают, что электромагнитная волна переносит энергию, значит, падая на препятствия, она должна оказывать на них давление. Корректно вывести соответствующую формулу довольно сложно, поэтому воспользуемся гидродинамической аналогией. Представьте, что по трубе, площадь сечения которой S со скоростью u течёт вода (рис. 5.5). Плотность энергии в движущейся воде очевидно равна ω = W/V = mu²/(2V) = ρu²/2, где ρ – плотность воды. Внезапно отверстие трубы перекрывают заслонкой. Что при этом происходит?

Учащиеся. Вода возле заслонки останавливается и сжимается. Фронт сжатия распространяется со скоростью перемещения упругой деформации υ навстречу движущейся воде. Скорость υ – это скорость упругой волны или скорость звука в воде.

Учитель. Верно. Применим к рассматриваемому явлению закон сохранения импульса. За небольшое время τ заслонкой останавливается объём воды Sυτ массой ρSυτ, который передаёт заслонке импульс ρSυτu. При этом на заслонку действует сила F, импульс которой равен Fτ. Приравнивая два последних выражения, после сокращения на время τ получаем равенство ρSυu = F. Отсюда давление внезапно остановленного потока воды равно P = F/S = ρuυ.

Учащиеся. Но скорость звука в воде равна 1500 м/с, неужели так сильно растёт давление?

Учитель. Именно так, и это явление называется гидродинамическим ударом. К слову сказать, его теорию создал наш соотечественник Н.Е.Жуковский. Но не будем отвлекаться. Допустим, что вода в трубе течёт со скоростью упругой волны u = υ. Что отсюда следует?

Учащиеся. Тогда возникающее давление равно P = ρuυ = ρu². Так как плотность энергии в текущей воде ω = ρu²/2, то мы должны заключить, что давление при внезапной остановке воды составляет P = 2ω.

Учитель. Вы только что нашли формулу для давления, которое оказывает на полностью отражающее препятствие падающая на него нормально упругая волна. Но если эта формула справедлива для упругих волн, то почему бы не предположить, что она будет справедлива и для электромагнитных?

Учащиеся. Тогда можно считать, что электромагнитная волна оказывает на отражающее её препятствие или зеркало давление, равное удвоенной плотности энергии падающей волны. Если волна распространяется в вакууме, то её скорость υ = c и с учётом выражения для интенсивности J = ω_cрυ = ω_cрс. (5.5) имеем:

P = 2ω_cр = 2J/c. (5.7)

Учитель. Поскольку электромагнитная волна оказывает давление, она должна обладать импульсом. Попробуйте найти формулу для импульса электромагнитного излучения. Для этого рассмотрите отражение короткого всплеска электромагнитного излучения от зеркала.

Учащиеся. Если импульс электромагнитной волны p, то при полном отражении её от зеркала за время t изменение импульса составляет 2p. Зеркало за то же время t получает импульс Ft = PSt = 2p. Так как давление P = 2J/c (5.7), то, подставляя это выражение в предыдущую формулу, получаем, что импульс электромагнитной волны p = J/c · St.

Учитель. Ещё раз вспоминая выражение для интенсивности J = W_cр / St (5.5), получаем

p = W_cр/с. (5.8)

Таким образом, импульс электромагнитной волны, распространяющейся в вакууме, равен средней по времени энергии волны, делённой на скорость света в вакууме.

5.5. Почему электромагнитная волна оказывает давление?

Учитель. Нам теперь нужно установить физическую причину, по которой электромагнитная волна оказывает давление. Напротив излучающего диполя я располагаю приёмный с лампой накаливания. Докажите, что в электромагнитном поле на диполь действует сила в направлении распространения волны.

Учащиеся. Под действием электрического поля волны электроны в приёмном диполе приходят в колебательное движение. При этом по диполю идёт переменный электрический ток, о чём свидетельствует свечение лампы. Но откуда берётся сила?

Учитель. Не забывайте, что в электромагнитной волне помимо электрического имеется магнитное поле.

Учащиеся. Тогда понятно! На ток в проводнике со стороны магнитного поля действует сила Ампера (рис. 5.6). Чтобы определить её направление, применим правило левой руки. Получается, что сила F на диполь действует в направлении распространения электромагнитной волны. В следующий полупериод переменного тока в диполе направление индукции сменится на противоположное, но направление силы Ампера не изменится.

Учитель. Вычисления, которые мы проводить не будем, показывают, что среднее по времени значение действующей на электроны силы Лоренца, которая приходится на единицу площади отражающего проводника, в точности совпадает с выражением (5.7). Поэтому гидродинамическая аналогия (рис. 5.5), использованная нами в теоретической модели, вполне уместна.

5.6. Заключение

Учитель. Что нового вы узнали на этом уроке? Чему вы научились? Что произвело на вас наибольшее впечатление?

Учащиеся. Мы узнали, что такое интенсивность, давление и импульс электромагнитной волны, а также, как они связаны друг с другом. Выяснили, как интенсивность зависит от частоты и расстояния, проходимого волной. Научились экспериментально определять интенсивность электромагнитного излучения. Очень интересна аналогия между течением воды и распространением волны. Убедительны опыты, в которых определяется пространственное распределение интенсивности электромагнитного излучения диполя.

Учитель. Как обычно, домашнее задание даётся тем, кому интересно его выполнять, или тем, кто хочет повторить пройденное, узнать новое, углубить свои знания и умения. Материал для выполнения задания вы найдёте в учебниках физики и в электронной версии опорного конспекта урока.

1. Дайте определение поверхностной плотности потока излучения. Что понимают под точечным источником электромагнитного излучения? Как плотность потока излучения зависит от частоты и расстояния до источника? [Г.Я.Мякишев, § 50; В.А.Касьянов, § 49.]
2. Что такое интенсивность электромагнитной волны? Как зависит интенсивность от частоты волны? По какому закону убывает интенсивность электромагнитной волны, испускаемой точечным источником? [Г.Я.Мякишев, § 50; В.А.Касьянов, § 49.]
3. Как определяются давление и импульс электромагнитной волны? В чём суть опытов П.Н.Лебедева по определению давления света? [Г.Я.Мякишев, § 92; В.А.Касьянов, § 50.]
4. Сделайте вывод формулы (5.4) для интенсивности гармонической электромагнитной волны. [ОК.]
5. Как экспериментально доказать, что излучающий диполь не является изотропным источником электромагнитной волны? [ОК.]
6. Мощность излучения точечного изотропного источника электромагнитной волны 2 Вт. Чему равна интенсивность на расстоянии 1 м от источника?
7. В некоторой области интенсивность электромагнитного излучения составляет 1 Вт/м². Чему равны напряжённость электрического и индукция магнитного полей в этой области?

Продолжение следует