Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные экзамены по физике на факультет ВМК

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2008 г.

Окончание. См. № 02, 05, 08, 11, 16/09

III. Электродинамика (окончание)

11 Цепь, изображённая на рисунке, состоит из конденсатора ёмкостью C, катушки индуктивностью L, источника с ЭДС и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, а также ключа K, первоначально находящегося в разомкнутом состоянии. В некоторый момент времени ключ замкнули и держали в замкнутом состоянии в течение времени τ, а затем разомкнули. До какого максимального напряжения может зарядиться конденсатор после этого? Считайте, что в момент замыкания ключа ток в цепи был равен нулю. Сопротивлением катушки и соединительных проводов пренебречь.

Решение

При замыкании ключа конденсатор практически мгновенно полностью разряжается, а ток через катушку начинает нарастать. По закону Ома, для замкнутой цепи имеем Следовательно, через время τ ток в цепи достигнет величины

После размыкания ключа в контуре возникают гармонические колебания. Конденсатор начинает заряжаться, и в момент достижения максимального напряжения U_max на нём ток через катушку обращается в нуль. За время, прошедшее после размыкания ключа до момента достижения максимального напряжения на конденсаторе, источник перемещает по цепи заряд q = CU_max, совершив работу A = q₁ = CU_max. По закону сохранения энергии, имеем:

Отсюда получаем квадратное уравнение относительно U_max:

Условию задачи удовлетворяет положительный корень.

 

12 Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L и плоского воздушного конденсатора ёмкостью C. Найдите среднюю за период колебаний силу притяжения обкладок конденсатора друг к другу, если амплитуда тока в катушке равна I₀. Площадь обкладки конденсатора S. Электрическая постоянная ε₀.

Решение

Пусть в некоторый момент времени заряд на конденсаторе равен q(t). Напряжённость электрического поля, создаваемого одной из обкладок, Поэтому сила электростатического притяжения между обкладками равна При гармонических колебаниях в контуре с круговой частотой заряд на конденсаторе меняется со временем по закону q(t) = q₀cosω₀t, где q₀ – амплитудное значение заряда. Следовательно, Используя формулу

и учитывая, что среднее за период значение cos2ω₀t равно нулю, находим среднее значение силы:

По закону сохранения, энергия при гармонических колебаниях

Продолжение следует