Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные экзамены по физике на факультет ВМК

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2008 г.

Продолжение. См. № 23/08

I. Механика

7 Два маленьких шарика массами m и 2m движутся в одной плоскости так, что их импульсы направлены взаимно перпендикулярно, а модули импульсов равны соответственно p и p/2. Шарики сталкиваются, причём после соударения модуль импульса шарика массой m становится равным p/2, а модуль импульса шарика массой 2m становится равным p. Какое количество теплоты Q выделилось при соударении шариков? Действием всех внешних сил пренебречь.

Решение

Картина столкновения шариков изображена на рисунке. Модули скоростей шариков массами m и 2m до столкновения равны соответственно:

После соударения шарики приобретают скорости

Кинетическая энергия шариков до столкновения равна

а после столкновения принимает значение

Количество теплоты, выделившееся при ударе, равно изменению кинетической энергии шариков:

Q = E₀ – E.

Ответ:

8 Два шарика массами m₁ = 2 г и m₂ = 6 г лежат на гладком горизонтальном столе. Между шариками располагается лёгкая пружина. Если сблизить шарики, сжав пружину, а затем, удерживая на месте шарик массой m₂, отпустить шарик массой m₁, то он отлетает со скоростью υ₀ = 2 см/с. С какими скоростями υ₁ и υ₂ разлетятся шарики, если сблизить их до расстояния, при котором сжатие пружины окажется в n = 2 раза меньше, чем в первом случае, и отпустить оба шарика одновременно?

Решение

Пусть k – жёсткость пружины, x₀ – сжатие пружины в первом случае. По закону сохранения механической энергии имеем:

Когда шарики отпускают одновременно, по закону сохранения импульса: m₁υ₁ = m₂υ₂.

Получаем ответ:

9 Два одинаковых бруска покоятся на шероховатой горизонтальной поверхности. В один из брусков попадает пластилиновый шарик, летящий с некоторой скоростью, и прилипает к нему. В другой брусок попадает металлический шарик такой же массы, летящий с такой же скоростью, что и пластилиновый. После упругого удара о брусок металлический шарик отскакивает назад со скоростью, вдвое меньшей начальной. Найдите отношение путей, пройденных брусками после удара, считая их движение поступательным.

Решение

Пусть m – масса каждого из шариков, υ – их скорость до соударения. M – масса каждого из брусков. При соударении пластилинового шарика с первым бруском выполняется закон сохранения импульса:

mυ = (m + M)u₁,

откуда

При соударении металлического шарика со вторым бруском выполняются законы сохранения импульса и механической энергии:

Из этой системы находим:

Подставляя найденное отношение масс в выражение для u₁, получаем u₁ = υ/4

Поскольку бруски движутся с одинаковыми ускорениями, отношение путей, пройденных брусками до остановки,

Ответ. n = 1/4

10 Два маленьких шарика подвешены на нитях так, что в положении равновесия нити вертикальны, а шарики соприкасаются друг с другом и их центры находятся на одной высоте. Длина нити подвеса левого шарика l₁ = 10 см, отношение масс шариков m₂/m₁ = n = 3. Левый шарик отклоняют на некоторый угол α от вертикали и отпускают без начальной скорости. Определите величину a, если максимальная высота, на которую поднимается левый шарик после первого соударения с правым шариком, h₁ = 1,25 см. Нити считать невесомыми и нерастяжимыми, соударение шариков – абсолютно упругим.

Решение

Пусть υ₀ – модуль скорости первого шарика непо­средственно перед соударением со вторым шариком, υ₁ и υ₂ – горизонтальные проекции скоростей шариков сразу после соударения. Из законов сохранения энергии и импульса вытекают равенства

Из этих равенств следует, что

Учитывая, что находим

Ответ.

 

11 На горизонтальных рельсах стоит тележка массой M. В неё бросают шар массой m, который ударяется о правую стенку тележки и падает на её дно, застревая в насыпанном на дно песке. В момент, когда шар пролетал над левой стенкой тележки, его скорость была равна υ₀ = 4 м/с и направлена горизонтально, а высота над поверхностью песка составляла H = 1,8 м. Какой путь s пройдёт тележка к моменту падения шара на песок, если длина тележки L = 2 м? Удар шара о стенку считать абсолютно упругим, стенку и шар гладкими, трением при движении тележки и размером шара пренебречь. При расчёте положить m = M/9. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с².

Решение

При упругом ударе шара о правую стенку тележки сохраняются горизонтальная проекция импульса и механическая энергия. Имеем:

где u – скорость тележки, υ – горизонтальная проекция скорости шара после удара. Из этой системы находим

Поскольку вертикальная проекция скорости шара при ударе о гладкую стенку не меняется, время τ движения мяча с момента, когда он пролетает над левой стенкой, до попадания в песок равно времени свободного падения с высоты H: Время движения мяча с момента, когда он пролетает над левой стенкой, до удара о правую стенку, τ₁ = L/υ₀. Приобретя после удара скорость u, тележка пройдёт до момента падения шара на песок путь s = u(τ – τ₁).

Ответ.

Продолжение следует