Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные экзамены по физике на факультет ВМК

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2008 г.

Продолжение. См. № 02, 05/09

I. Механика (продолжение)

17 Маленькая шайба находится на горизонтальной поверхности стола, состоящей из двух панелей: гладкой и шероховатой. Координатная ось X направлена перпендикулярно стыку панелей. Шайба скользит по гладкой панели параллельно оси X и в некоторый момент времени попадает на шероховатую панель. Коэффициент трения между шайбой и шероховатой панелью возрастает по мере удаления от стыка панелей по линейному закону μ(x) = αx, где α = const. Через какое время τ после попадания шайбы на шероховатую панель её скорость уменьшится в 2 раза? Ускорение свободного падения g.

Решение

Уравнение движения шайбы, начиная с момента, когда она попадает на шероховатую поверхность, и до момента остановки имеет вид:

С учётом начальных условий x(0) = 0, (0) = υ₀ решение этого уравнения записывается как

где x₀ – некоторая константа. Скорость шайбы меняется во времени по закону

Следовательно, начальная скорость шайбы υ₀ связана с константой x₀ соотношением По условию,

II. Молекулярная физика и термодинамика

1 В баллоне находится смесь азота N₂ и водорода H₂. При некоторой температуре T, при которой все молекулы азота диссоциировали на атомы, а диссоциацией молекул водорода ещё можно пренебречь, давление смеси в баллоне оказалось равным p. При температуре 2T, при которой молекулы обоих газов полностью диссоциировали, давление в баллоне стало равным 3p. Каково отношение α числа атомов азота к числу атомов водорода в смеси?

Решение

Обозначим число атомов азота и число атомов водорода в смеси через n₁ и n₂ соответственно. Уравнения состояния смеси имеют вид: (при температуре T), 3pV = (n₁ + n₂)k · 2T (при температуре 2T).

Здесь V – объём баллона, k – постоянная Больцмана. Выражая из этих уравнений отношение α = n₁/ n₂, получаем ответ: α = 1/2

 

2 Искусственный спутник Земли, имеющий форму шара радиусом R = 0,5 м, движется по круговой орбите со скоростью υ = 7,9 км/с. Давление воздуха на высоте орбиты спутника p = 0,9 Па, температура T = 270 К. Полагая, что скорость теплового движения молекул воздуха пренебрежимо мала по сравнению со скоростью спутника, найдите среднее число столкновений молекул со спутником в единицу времени. Постоянная Больцмана k = 1,38 · 10^–23 Дж/К.

Решение

Поскольку молекулы воздуха можно считать практически неподвижными, за время τ спутник столкнётся с молекулами, находящимися в воображаемом цилиндре сечением S = πR² и длиной υτ. Число таких молекул N = Sυτn, где – их концентрация.

Ответ.

3 В настоящее время для различных целей широко используются воздушные шары, заполняемые нагретым воздухом. Подогрев воздуха производится с помощью горелки, установленной под небольшим отверстием в нижней части оболочки шара. Из этого же отверстия излишек воздуха может свободно выходить наружу. До какой температуры t₁ нужно нагреть воздух внутри шара, чтобы с его помощью поднять груз массой m = 100 кг? Объём шара V = 1000 м³, температура атмосферного воздуха t₀ = 27 °C, атмосферное давление p₀ = 10⁵ Па. Молярная масса воздуха M = 29 г/моль, универсальная газовая постоянная R = 8,3 Дж/(моль · К). Массой оболочки шара пренебречь. Воздух считать идеальным газом.

Решение

Плотность воздуха при температуре T и давлении p равна Следовательно, архимедова сила, действующая на шар, равна

а масса воздуха, заключённого внутри шара,

Здесь T₀ = t₀ + 273 °C; T₁ = t₁ + 273 ­°C. Условие равновесия шара с грузом массой m имеет вид:

(m + m₁)g = F_A.

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

4 Металлическую трубку площадью поперечного сечения S = 10 см² и длиной около полутора метров опустили в воду и закрепили на штативе в вертикальном положении так, чтобы верхний край трубки находился над поверхностью воды на высоте h = 10 см. Температуры воздуха и воды одинаковы и равны t₀ = 7 °C, атмосферное давление p₀ = 10⁵ Па. Трубку закрыли сверху легкой герметичной крышкой, закрепив её, и нагрели воду до температуры t₁ = 100 °C. На какую величину ΔF изменилась при этом сила, с которой трубка действует на штатив? Давлением насыщенных паров воды при температуре t₀, а также тепловым расширением воды и стенок трубы пренебречь. Плотность воды считать равной ρ = 10³ кг/м³, а модуль ускорения свободного падения g = 10 м/с².

Решение

Давление в трубе под крышкой при начальной температуре равно атмосферному давлению p₀. При нагревании воды до температуры t₁ = 100 °C давление в трубе становится равным сумме давления p сухого воздуха и давления p₀ насыщенных водяных паров. Условие равновесия воды в трубе имеет вид:

p + p₀ = ρg(h₁ – h) + p₀,

где h₁ – высота столба смеси воздуха и пара внутри трубы. Отсюда p = ρg(h₁ – h). Из уравнения состояния сухого воздуха следует, что

где T₀ = t₀ + 273 °C; T₁ = t₁ + 273 ­°C. Объединяя записанные выражения, получаем квадратное уравнение относительно h₁:

5 В цилиндрическом сосуде при температуре 0 °С находится вода и кусок льда, примерзший ко дну сосуда, причём уровень воды располагается на высоте h₀ = 20 см от дна сосуда, а лёд не выступает над поверхностью воды. Когда содержимому сосуда сообщили количество теплоты Q = 60 кДж, η = 10% льда расплавилось, а оставшаяся часть льда всплыла на поверхность. На какой высоте h от дна сосуда оказался уровень воды в сосуде после этого? Площадь поперечного сечения сосуда S = 200 см², плотность воды ρ_в = 1 г/см³, плотность льда ρ_л = 0,9 г/см³, удельная теплота плавления льда λ = 332 Дж/г.

Решение

Пусть m₀ – начальная масса льда. Тогда примерзший ко дну лёд вытесняет объём V₀ = m₀/ρ_л. Всплывший лёд массой вытеснит объём V₀ = m₀/ρ_в, а образовавшаяся при таянии льда массой ηm₀/100% вода займёт объём Обозначив через V_в начальный объём воды в сосуде, имеем:

Sh₀ = V_в + V₀; Sh = V_в + V + V′.

Из записанных равенств находим

Для определения начальной массы льда m₀ воспользуемся уравнением теплового баланса:

Продолжение следует