Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные экзамены по физике на факультет ВМК

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2008 г.

Продолжение. См. № 02/09

I. Механика (продолжение)

12 Сплошной однородный цилиндр располагается на шероховатой наклонной плоскости, образующей с горизонталью угол α. На цилиндр намотана нить, которая закреплена на наклонной плоскости так, что её отрезок между цилиндром и точкой закрепления горизонтален. При каком минимальном значении коэффициента трения μ_min между плоскостью и цилиндром последний будет находиться в равновесии?

Решение

Цилиндр находится в равновесии под действием сил, изображённых на рисунке, где mg – сила тяжести, T – сила натяжения нити, F – сила ракции наклонной плоскости. Поскольку линии действия сил mg и T пересекаются в точке А схода нити с блока, линия действия силы F при равновесии цилиндра также проходит через эту точку. Разложим силу F на две составляющие: силу нормального давления N и силу трения F_тр. Из рисунка видно, что F_тр = N tgγ. Поскольку величина силы трения покоя F_тр ≤ μN, значение коэффициента трения, при котором цилиндр находится в равновесии, удовлетворяет условию: μ ≥ tgγ.

Минимальное значение коэффициента трения μ_min = tgγ. Как видно из рисунка, Поскольку 2β + α = π, то γ = α/2.

Ответ.

13 Маленький шарик закреплён на однородном стержне длиной L на расстоянии l от его конца. Стержень прислонён к вертикальной стенке и расположен в плоскости, перпендикулярной стенке. Он образует с горизонтальной поверхностью угол α. При каком максимальном значении l стержень может находиться в равновесии? Коэффициент трения между стержнем и горизонтальной поверхностью, а также в точке касания стержня со стенкой равен μ. Массой стержня по сравнению с массой шарика пренебречь.

Решение

Стержень находится в равновесии под действием сил, изображённых на рисунке, где mg – сила тяжести, действующая на шарик, N₁ и N₂ – нормальные составляющие сил реакции горизонтальной и вертикальной поверхностей, F₁ и F₂ – силы трения. Максимальное расстояние l соответствует случаю, когда силы трения принимают значения:

F₁ = μN₁; F₂ = μN₂.

Записывая для этого случая условия равновесия стержня, имеем:

N₂ = μN₁;

μN₂ + N₁ = mg;

μN₂Lcosα + N₂L sinα = mgl cosα.

Исключая из этих уравнений N₁ и N₂, получаем ответ:

14 В U-образной трубке площадью поперечного сечения S находится жидкость плотностью ρ. Правое колено трубки сверху герметично закрывают, а в левое колено опускают брусок, в результате чего уровень жидкости в правом колене поднимается относительно исходного уровня на высоту h. Найдите массу бруска m, если известно, что он плавает в жидкости. Расстояние от поверхности жидкости до верхнего края правого колена трубки в начальном состоянии равно l. Атмосферное давление p₀, ускорение свободного падения g. Температура воздуха постоянна. Давлением паров жидкости пренебречь.

Решение

Брусок массой m, плавающий в жидкости плотностью ρ, вытесняет объём V = m/ρ. В результате уровни жидкости в трубке повышаются: в левом колене на h₁, в правом – на h, причём

Если – давление воздуха над жидкостью в правом колене, то условие равновесия жидкости имеет вид: p₀ + ρgh₁ = p + ρgh. По закону Бойля–Мариотта, для воздуха, содержащегося в правом колене,

p₀Sl = pS(l – h).

Исключая из записанных равенств p и h₁, получаем ответ:

15 На горизонтальном столе лежит полая треугольная призма массой m, изготовленная из листового металла. Основания призмы представляют собой правильные треугольники со стороной a. Две боковые грани призмы – прямоугольники со сторонами a и b; нижняя грань отсутствует. Нижние ребра оснований и боковых граней призмы плотно (без зазора) прилегают к столу. Через отверстие в верхнем ребре в призму медленно наливают воду. До какой высоты h нужно заполнить водой призму, чтобы она оторвалась от стола? Плотность воды ρ.

Решение

Выделим тонкий слой воды толщиной Δy, находящийся на глубине y. Площадь боковой стенки, соответствующая толщине этого слоя,

Гидростатическое давление воды на глубине y равно p(y) = ρgy. Поэтому модуль силы давления воды, действующей со стороны выделенного слоя на каждую из боковых стенок:

Векторная сумма ΔF = ΔF₁ + ΔF₂ направлена вертикально вверх и по модулю равна

ΔF(y) = 2ΔF₁cos60° = f(y)Δy,

где

Поскольку f(y) зависит от y линейно, полная сила, действующая на боковые стенки со стороны столба воды высотой h, равна

Учитывая, что, по условию, F = mg, находим ответ: Поскольку ответ имеет смысл при

16 По трубе переменного поперечного сечения, ось которой горизонтальна, течёт вода, причем её расход составляет ν = 5 л/с. В верхней части трубы, в том месте, где внутренний диаметр трубы d₁ = 4 см, образовалось небольшое отверстие. Из этого отверстия вертикально вверх бьёт струя воды, поднимаясь на высоту h₁ = 1 м. На какую высоту h₂ поднимется струя воды, если такое же отверстие образуется в верхней части трубы в том месте, где внутренний диаметр трубы d₂ = 8 см? Высоту подъёма струи отсчитывать от оси трубы. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с². Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Уравнение Бернулли для воды, текущей по трубе, имеет вид:

p₁ + (1/2)ρυ₁² = p₂ + (1/2)ρυ₂²,

где p₁, υ₁ и p₂, υ₂ – давления и скорости воды в сечениях диаметрами d₁ и d₂ соответственно, – плотность воды. Из уравнения неразрывности течения следует, что

ν = 1/4πd₁²υ₁ = 1/4πd₂²υ_2.

Отсюда находим скорости:

Давление воды в трубе связано с высотой подъёма струи воды соотношением p = p₀ + ρgh, где p₀ – атмосферное давление. Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

Продолжение следует