Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные экзамены по физике на факультет ВМК

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2008 г.

Продолжение. См. № 02, 05, 08/09

II. Молекулярная физика и термодинамика (окончание)

6 Металлический шарик, нагретый до температуры t = 60 °C, положили в стакан с водой, имеющей температуру t₀ = 20 °C. После достижения теплового равновесия температура воды в стакане стала равной t₁ = 30 °C. Затем шарик переложили в другой стакан с таким же количеством воды, имеющей температуру t₀. Какая температура t₂ установится в этом стакане? Теплообменом с окружающей средой пренебречь.

Решение

Пусть с_ш – теплоёмкость шарика, а с_в – теплоёмкость стакана с водой. Уравнения теплового баланса имеют вид:

с_ш(t – t₁) = с_в(t₁ – t₀) (когда шарик положили в первый стакан),

с_ш(t₁ – t₂) = с_в(t₂ – t₀) (когда шарик переложили во второй стакан).

Из этих выражений следует равенство:

Выражая из него t₂, находим ответ:

7 Два сообщающихся сосуда разного поперечного сечения заполнены жидкостью при температуре t₀ = 0 °C до высоты h. Площадь поперечного сечения правого сосуда S. Левый сосуд до высоты h имеет сечение площадью 2S, а выше этого уровня – сечение площадью S. В правом сосуде температуру жидкости поддерживают неизменной и равной t₀, а в левом сосуде жидкость нагревают до температуры t₁. На какую величину Dhпр поднимется при этом уровень жидкости в правом сосуде? Температурный коэффициент объёмного расширения жидкости равен b. Тепловым расширением сосудов и объёмом соединительной трубки пренебречь.

Решение

Пусть ρ₀ – плотность жидкости при температуре t₀. Тогда при температуре t₁ плотность жидкости будет

Поскольку полная масса жидкости в сосудах не изменяется, справедливо равенство:

ρ₀(2S + S)h = ρ₁(2Sh + SΔh_л) + ρ₀S(h + Δh_пр),

где Δh_л и Δh_пр – перемещения уровней жидкости в левом и правом сосудах. Условие равновесия жидкости имеет вид:

ρ₁g(h + Δh_л) = ρ₀g(h + Δh_пр).

Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

 

III. Электродинамика

1 Два конденсатора, заряженные до одного и того же напряжения, имеют энергии W₁ и W₂. Разноимённо заряженные обкладки конденсаторов соединили с помощью двух проводников. Какая энергия Q выделилась в проводниках при разрядке конденсаторов?

Решение

Пусть С₁ и С₂ – ёмкости конденсаторов, U₀ – напряжение, до которого они заряжены. Тогда заряды на конденсаторах q₁ = С₁U₀, q₂ = С₂U₀, а их энергии

После соединения разноимённо заряженных пластин модуль заряда на каждой паре пластин будет q = |q₁ – q₂| = = |С₁ – С₂|U₀. Следовательно, энергия конденсаторов после перезарядки

Изменение энергии конденсаторов в процессе перезарядки равно энергии, выделившейся в проводниках: Q = W₁ + W₂ – W′. После несложных преобразований находим, что

 

2 Два одинаковых конденсатора ёмкостью C каждый соединены последовательно и постоянно подключены к источнику с ЭДС и пренебрежимо малым внутренним сопротивлением. В некоторый момент времени параллельно одному из конденсаторов подсоединили резистор. Какое количество теплоты Q выделится в этом резисторе в процессе перераспределения зарядов в конденсаторах, если перед подключением резистора заряды на конденсаторах были одинаковы?

Решение

В начальном состоянии заряд на каждом конденсаторе энергия системы

При подключении резистора к одному из конденсаторов этот конденсатор полностью разрядится, а второй зарядится до напряжения . Поэтому конечная энергия системы

При перезарядке конденсаторов источник переместит по цепи заряд q, совершив работу

Из закона изменения энергии следует, что A + W₁ = W₂ + Q.

Ответ.

 

3 Плоский конденсатор, подключённый к источнику с ЭДС , состоит из двух квадратных обкладок площадью S каждая, расположенных на расстоянии d друг от друга. Между обкладками расположена диэлектрическая пластинка с диэлекрической проницаемостью ε, заполняющая весь объём конденсатора. Пластинку начинают медленно выдвигать вдоль одной из сторон конденсатора с постоянной скоростью υ₀. Какой по величине и направлению ток I будет течь в цепи источника при этом? Внутренним сопротивлением источника пренебречь.

Решение

Пусть пластинка выдвинута из конденсатора на расстояние x. Ёмкость конденсатора и заряд на нём при этом будут:

где За малое время Δt пластинка переместится на расстояние Δx = υ₀Δt, а заряд конденсатора уменьшится на величину

Ток внутри источника направлен от его положительной клеммы к отрицательной.

4 В цепи, изображённой на рисунке, ключ в течение длительного времени находился в положении 1, а конденсатор С₂ был полностью разряжен. В некоторый момент ключ перевели из положения 1 в положение 2. Найдите заряды q₁ и q₂, которые по истечении достаточно длительного времени накопятся на конденсаторах С₁ и С₂ соответственно. Ёмкости конденсаторов С₁ = 1 мкФ, С₂ = 2 мкФ, ЭДС каждого из источников = 30 В.

Решение

Когда ключ находился в положении 1, на конденсаторе С₁ накопился заряд q₀ = С₁. При переводе ключа в положение 2 заряд –q, находившийся первоначально на правой обкладке конденсатора С₁, перераспределился между ней и левой обкладкой конденсатора С₂. По закону сохранения заряда, на этой системе обкладок имеем: –С₁= –q₁ – q₂. При обходе контура по часовой стрелке приходим к соотношению:

Из записанной системы уравнений находим ответ:

Продолжение следует