Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные испытания по физике на физический факультет

Продолжение. См. № 1, 3/09

III. Электродинамика

1. Три незаряженные концентрические проводящие сферы радиусами r, 2r, 3r находятся в вакууме. В центр сфер поместили точечный заряд q, а затем среднюю сферу заземлили тонким длинным изолированным проводом, пропущенным через небольшое отверстие в сфере радиусом 3r. Найдите разность потенциалов между внутренней и наружной сферами.

Решение

При решении задачи будем, как обычно, считать потенциал точки, достаточно удалённой от заряженных проводников конечных размеров, равным нулю. При этом потенциал всех сфер до внесения в их центр точечного заряда q нужно будет также считать равным нулю.

После внесения заряда q через очень малое время распределение зарядов по поверхностям внутренней сферы должно измениться так, чтобы внутри материала этой сферы напряжённость электрического поля стала равной нулю, т.к. в противном случае в проводящем материале этой сферы должен был бы протекать электрический ток. Следовательно, на внутренней поверхности внутренней сферы должен появиться заряд –q, а на её внешней поверхности – заряд q, т.к. эта сфера изолирована, а потому её общий заряд не может измениться, т.е. должен остаться равным нулю. Потенциал φ₂ средней заземлённой длинным тонким проводником сферы, как и потенциал φ₃ незаряженной наружной сферы, остаётся равным нулю. Следовательно, на расстояниях от общего центра сфер, превышающих радиус средней сферы 2r, напряжённость электрического поля должна остаться равной нулю. Поэтому силовые линии напряжённости электрического поля, созданного зарядом q на внешней поверхности внутренней сферы, должны заканчиваться на внутренней поверхности средней сферы. Для этого на внутренней поверхности этой сферы должен появиться заряд –q, поступивший на неё по заземляющему эту сферу проводнику. Из соображений симметрии можно утверждать, что этот заряд будет равномерно распределён по внутренней поверхности указанной сферы. Таким образом, электрическое поле, возникшее после внесения в центр сфер заряда q, должно быть сферически симметричным. Следовательно, вектор напряженности этого поля должен быть направлен от центра сфер (полагая q > 0)) по радиальным прямым, а его проекция на направление радиуса, выходящего из центра сфер, должна удовлетворять соотношению:

где r – расстояние от центров сфер, а ε₀ – электрическая постоянная.

По определению, потенциалом данной точки называют отношение работы сил электрического поля по перемещению пробного заряда из этой точки в точку, потенциал которой, по определению, считают равным нулю, к величине этого заряда. Поскольку за точку, потенциал которой равен нулю, была выбрана бесконечно удалённая от центра сфер точка, а при ρ > 2r напряжённость поля в заданной системе проводников равно нулю, то потенциал внутренней сферы должен быть равен потенциалу точки, находящейся на расстоянии r от точечного q, минус потенциал точки, удалённой на расстояние 2r от этого заряда. Как известно, потенциал электрического поля, созданного в вакууме точечным зарядом q на расстоянии ρ от него, считая потенциал бесконечно удаленной от этого заряда точки равным нулю, равен Следовательно, потенциал внутренней сферы после внесения заряда q в ее центр станет равным

Ранее было доказано, что потенциал наружной сферы равен нулю. Следовательно, искомая разность потенциалов равна

 

2. Плоский конденсатор, расстояние между обкладками которого равно L, подключён к батарее с ЭДС . Между обкладками этого конденсатора находится плоскопараллельная диэлектрическая пластина с проницаемостью ε. Пластина параллельна обкладкам, её толщина d, а площадь её поверхностей, параллельных обкладкам, равна площади обкладок. В пластине возникает электрический пробой, если модуль напряжённости электрического поля в ней превышает E₀. При какой толщине пластины не произойдёт её электрического пробоя?

Решение

Разность потенциалов между обкладками плоского конденсатора после его подключения к батарее установится равной ЭДС батареи . В результате между обкладками конденсатора будет создано электростатическое поле, а диэлектрическая пластина поляризуется так, что на обращенной к положительно заряженной обкладке стороне этой пластины возникнут отрицательные поляризационные заряды. На противоположной же стороне этой пластины возникнут положительные поляризационные заряды. Поэтому напряжённость поля в пластине по модулю будет меньше модуля напряжённости электрического поля между обкладкой и ближайшей к ней поверхностью пластины. По условию задачи поверхности пластины параллельны поверхностям обкладок, а конденсатор является плоским. Поэтому, считая пластину однородной, из соображений симметрии можно утверждать, что векторы напряжённости поля в пластине и вне её, между обкладками, перпендикулярны указанным поверхностям, и эти поля являются однородными.

Обозначим модуль напряжённости электрического поля в пластине E₁. Тогда модуль напряжённости электрического поля между обкладками вне пластины согласно сказанному выше будет больше модуля напряжённости поля в пластине и по определению относительной диэлектрической проницаемости e будет равен E₂ = εE₁. Учитывая сказанное и вспомнив связь разности потенциалов с напряжённостью однородного электрического поля, можно утверждать, что E₁d + + E₂(L – d) = . По условию задачи пробоя пластины не будет, если E₁ ≤ E₀. Следовательно, пробоя не будет, если толщина пластины удовлетворяет неравенству: d ≤ (εE₀L – )/[(ε – 1)E₀] при /(εL) < E₀ ≤ /L, т.к. 0< d ≤ L. При εLE₀ ≤ пробой будет при любой, сколь угодно малой толщине пластины, а при LE₀> пробоя не будет даже при d = L.

 

3. Чтобы определить ЭДС источника с малым внутренним сопротивлением с помощью вольтметра, предел измерения которого меньше , использовали два резистора с достаточно большим сопротивлением. При подключении вольтметра через первый резистор показание вольтметра оказалось равным U₁, через второй – U₂, а через соединённые определённым образом между собой эти резисторы – U₃. Зная, что U₃ < U₁ и U₃ < U₂, найдите ЭДС источника.

Решение

По условию задачи, при подключении вольтметра к источнику через разные резисторы его показания изменяются. Это возможно только в том случае, если используемый вольтметр имеет конечное (а не бесконечно большое) внутреннее сопротивление. Обозначим внутреннее сопротивление вольтметра r, сопротивление первого резистора R₁, а второго – R₂. По условию задачи, внутренним сопротивлением источника следует пренебречь. Поэтому, на основании закона Ома для замкнутой цепи, можно утверждать, что U₁ = r/(R₁ + r),U₂ = r/(R₂ + r), а потому R₁/r = /U₁ –1 и R₂/r = /U₂ –1. По условию задачи, U₃ < U₁ и U₃ < U₂. Следовательно, при третьем измерении оба резистора подключались к источнику последовательно с вольтметром. Поэтому в третьем случае должно было выполняться соотношение: U₃ = r/(R₁ + R₂ + r). Из этого соотношения следует, что /U₃ = (R₁ + R₂)/r + 1. Подставляя в это соотношение найденные ранее значения отношений сопротивлений резисторов к внутреннему сопротивлению вольтметра, получаем /U₃ – 1 = /U₁ – 1 + /U₂ – 1. Из этого уравнения следует, что ЭДС источника если (U₁ +U₂)U₃ >U₁U₂.

При нарушении приведенного неравенства задача не имеет решения.

 

4. В магнитном поле, вертикальная составляющая индукции которого убывает с высотой h по закону B_h = (1 – kh)B₀, с достаточно большой высоты падает тонкое кольцо массой m, диаметром D. Сопротивление кольца равно R. Кольцо движется поступательно так, что его ось всё время остается вертикальной. Пренебрегая влиянием воздуха, найдите установившуюся скорость падения кольца.

Решение

При решении задачи будем считать, что источник магнитного поля покоится относительно инерциальной системы отсчета, а магнитным полем, порождаемым токами в кольце, можно пренебречь по сравнению с внешним магнитным полем, т.е. можно пренебречь индуктивностью кольца. По условию задачи кольцо является тонким и движется поступательно так, что его ось все время остаётся вертикальной. Поэтому модуль быстроты изменения потока F магнитного поля, сцепленного с кольцом, будет равен |Φ| = 0,25πkυB₀D₂, где υ = |h|– модуль скорости падения кольца. Из этого выражения следует, что при неизменной скорости падения кольца скорость изменения сцепленного с кольцом потока остается постоянной. Следовательно, при падении кольца с постоянной скоростью по нему, согласно закону Фарадея, должен протекать постоянный ток I = |Φ|/R. В результате при установившемся движении на кольцо со стороны внешнего магнитного поля будет действовать суммарная сила, направленная согласно правилу Ленца вертикально вверх, модуль которой равен модулю действующей на кольцо силы тяжести mg, где g – ускорение свободного падения. По закону изменения энергии тепловая мощность I²R, выделяющаяся в кольце, должна быть равна скорости убывания потенциальной энергии mvg кольца в поле тяжести. Следовательно, искомая установившаяся скорость падения кольца υ = 16mgR/(πkB₀D₂)².

Продолжение следует