Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные испытания по физике на физический факультет

II. Молекулярная физика и термодинамика

Продолжение. См. № 1/09

2 Пустую камеру велосипеда, стоящего на горизонтальной дороге, медленно накачивают. Насос захватывает при каждом качании объём воздуха υ = 40 см³. Сколько качаний необходимо сделать, чтобы при нагрузке на колесо, равной F = 500 Н, площадь его соприкосновения с дорогой стала равной S = 50 см²? Атмосферное давление p_a = 10⁵ Па. Процесс накачивания считать изотермическим. Объём камеры неизменен и равен V = 2 л.

Решение

При решении задачи будем считать, что уравнение состояния воздуха совпадает с уравнением состояния идеальных газов. Кроме того, будем считать, что камера идеально гибкая, а для открывания клапанов насоса требуется очень малый перепад давлений и поршень выталкивает в камеру весь захваченный объём воздуха. При выполнении этих предположений обеспечить заданную площадь соприкосновения камеры с дорогой можно, если в ней создать давление p = F/S + p_a. Согласно уравнению Клапейрона–Менделеева, pV = νRT, где р, V и Т – давление, объём и абсолютная температура воздуха в камере, ν – число молей воздуха в ней, а R – универсальная газовая постоянная. По условию задачи, объём камеры при накачивании не зависит от давления в ней и процесс накачивания является изотермическим. Следовательно, для получения требуемой площади соприкосновения камеры с дорогой в ней должно находиться молей воздуха.

При выполнении сделанных предположений за один ход поршня в камеру должно поступать число молей воздуха ν₁ = p_av/(RT). Поэтому необходимое число качаний n = ν/ν₁. Подставляя в эту формулу ранее найденные значения ν и ν₁, находим искомое число качаний:

3 Атмосфера некоторой сферической планеты состоит по массе на 3/4 из азота и на 1/4 из метана. Атмосферное давление вблизи поверхности планеты равно p₀, ускорение свободного падения равно g. При глобальном похолодании на планете образовался метановый океан, а относительная влажность атмосферы по метану вблизи поверхности океана стала равна r. Пренебрегая вращением планеты, найдите глубину океана, если плотность жидкого метана равна ρ, а давление его насыщенных паров при данной температуре равно p_н.

Решение

По условию задачи, вращением планеты следует пренебречь. Будем пренебрегать и ускорением, обусловленным движением планеты вокруг её звезды. Тогда систему отсчёта, неподвижную относительно поверхности планеты, можно считать инерциальной. При этом давление на твёрдую поверхность планеты и при отсутствии океана, и при его наличии определяется полной массой азота и метана, а ускорение свободного падения во всех точках на поверхности планеты должно быть одинаковым. Поскольку, по условию задачи, высота атмосферы и глубина океана много меньше радиуса планеты, то модуль ускорения свободного падения можно считать постоянным на всех высотах вплоть до верхней границы её атмосферы.

При выполнении сделанных предположений после образования океана давление на его поверхность должно стать равным p₁ = p₀ – ρgh, где h – искомая глубина океана. Давление p₁ равно сумме давлений азота и паров метана. По условию задачи, масса азота в атмосфере планеты составляет 3/4 от массы исходной атмосферы. Поэтому парциальное давление азота должно быть равно 75% от давления всей атмосферы, т.е. равно 0,75 p₀. Утверждая это, мы предполагали, что азот не растворялся в метановом океане, т.е. весь находится над поверхностью океана.

По определению относительной влажности, парциальное давление паров метана после образования океана равно rpн. Поскольку общее давление атмосферы на поверхность океана, согласно закону Дальтона, равно сумме парциальных давлений газов, образующих атмосферу, то p₁ = 0,75p₀ + rp_н. При этом очевидно, что сказанное верно, если r < 0,25p₀/p_н, т.к. оставшаяся в атмосфере масса метана должна быть меньше его массы, содержавшейся в атмосфере до начала конденсации метана в результате глобального похолодания.

Исключая из приведённых уравнений давление атмосферы на поверхность океана, находим искомую глубину океана

Подчеркнём еще раз, что полученное решение верно, если

4 На p, V-диаграмме изображён циклический процесс 1–2–3–4–5–1, совершаемый над ν молями гелия. В точке 1 абсолютная температура газа равна Т₁, в точках 2 и 4 – Т₂, а в точке 3 – Т₃. В точках 2 и 5 равны объёмы газа. Найдите работу газа за один цикл.

Решение

Как известно, работа газа за цикл равна площади фигуры, изображающей этот цикл на p, V-диаграмме. По условию задачи, указанная фигура состоит из двух прямоугольных треугольников и одного прямоугольника. Поэтому, вспомнив формулы для расчёта площади прямоугольного треугольника и прямоугольника, получаем

A = 0,5(p₃ – p₁)(V₂ – V₁) + 0,5(p₂ – p₁)(V₃ – V₂) + (p₃– p₂)(V₃ – V₂),

где p_i и V_i заданы. По условию задачи, температуры газа в точках 2 и 4 равны Т₂. Поскольку точки 1 и 2 лежат на прямой, проходящей через начало координат, то p₃/V₂ = p₁/V₁. Точки 5 и 4 также расположены на прямой, проходящей через начало координат. Следовательно, p₂V₃ = p₁/V₂. Будем считать, что при всех условиях, реализуемых во время цикла, гелий подчиняется уравнению Клапейрона–Менделеева, т.е. справедливо соотношение p_iV_i = νRT_i, где R – универсальная газовая постоянная. Используя это соотношение, из приведённых выше формул получаем:

A = 0,5νR(Т₁ – 2Т₂ + 2Т₃ – Т₅).

На участках 2–3 и 5–1 давление газа остаётся постоянным. Следовательно, отношения объёмов и температур в пределах каждого из этих участков должны быть постоянными, т.е. должны выполняться соотношения V₂/Т₂ = V₃/Т₃ и V₂/Т₅ = V₁/Т₁.

На участке 3–4 постоянным остаётся объём газа. Следовательно, во всех точках этого участка должно быть постоянным отношение давления к абсолютной температуре газа. В частности, должно иметь место равенство p₃/Т₃ = p₂/Т₂. На основании сказанного можно утверждать, что Т₅/Т₁ = V₂/V₁ = p₃/p₁ = p₂Т₃/(p₁Т₂) = V₃Т₃/(V₂Т₂) = Т²₃ /Т²₂ ,

т.е. Т₅ = Т₁ · Т²₃ /Т²₂ . Подставляя это значение в соотношение (1), получаем ответ: A = 0,5νR[Т₁ + 2(Т₃ – Т₂) – Т₁Т²₃ /Т²₂ ].

 

5 В тяжёлом вертикальном цилиндре, стоящем на столе, под поршнем массой m = 5 кг находится идеальный газ, занимающий объём V₀ = 1 м³. Площадь сечения поршня равна S = 1 м². К поршню прикреплена нерастяжимая лёгкая нить, перекинутая через закреплённый блок, как показано на рисунке. К другому концу нити прикреплён груз массой M = m. Система находится в равновесии при атмосферном давлении p₀ = 0,1 МПа. Найдите круговую частоту w малых колебаний поршня, пренебрегая изменением внутренней энергии газа при этих колебаниях и действием сил трения на части системы.

Решение

По условию задачи, цилиндр тяжёлый. Поэтому его можно считать неподвижным относительно стола. Неподвижным относительно поверхности Земли будем считать и стол, а систему отсчёта, связанную с Землёй, как обычно, будем считать инерциальной. Поскольку трением в рассматриваемой системе следует пренебречь, а масса груза равна массе поршня, то при равновесии давление газа на поршень равно атмосферному давлению p₀. По условию задачи, внутренняя энергия газа при колебаниях остаётся постоянной. Поскольку под поршнем находится идеальный газ, то его внутренняя энергия зависит только от его температуры. По условию задачи, колебания поршня должны быть малыми, а массы поршня и груза достаточно велики (m = M = 5 кг). Поэтому можно считать, что процесс колебаний является столь медленным, что его можно считать квазиравновесным. Следовательно, при заданных колебаниях состояние газа под поршнем должно подчиняться закону Бойля–Мариотта. Поэтому при смещении поршня вниз от положения равновесия на малую величину х давление газа на поршень должно стать равным p = p₀V₀/(V₀ – xS). При этом на поршень будет действовать сила, направленная вверх, модуль которой превышает силу атмосферного давления на величину ΔF = (p – p₀)S = p₀S²x/(V₀ – xS). Поскольку требуется определить амплитуду малых колебаний, то в полученном выражении нужно пренебречь величиной xS по сравнению с объёмом газа при равновесии, а потому ΔF ≈ p₀S²x/V₀. Как известно, амплитуда ускорения при гармонических прямолинейных колебаниях прямо пропорциональна амплитуде этих колебаний. Следовательно, при достаточно малой амплитуде колебаний амплитуда ускорения груза не будет превышать модуль ускорения свободного падения, а потому нить, соединяющая поршень с грузом, всё время остаётся натянутой. Поэтому, учитывая нерастяжимость нити и то, что в отсутствие трения между нитью и блоком он не вращается при колебаниях, мы можем утверждать, что ускорения поршня и груза равны по модулю. Из сказанного с учётом невесомости нити следует, что силы, действующие на поршень и груз со стороны нити, всё время остаются равными по модулю. Поэтому на основании второго закона Ньютона ускорение поршня должно удовлетворять уравнению^*

Как известно, решением этого уравнения является гармоническая функция с круговой (циклической) частотой

Следовательно, искомая круговая частота малых колебаний поршня при выполнении сделанных предположений равна

Продолжение следует

---

^* Здесь, как и принято в физике, двоеточие, стоящее над символом, означает, что это вторая производная по времени от обозначенной этим символом величины.