Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные испытания по физике на физический факультет

Продолжение. См. № 1, 3, 6/09

III. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА (продолжение)

5 В схеме, показанной на рисунке, конденсатор С первоначально был разряжен, ключи K₁ и K₂ разомкнуты, а стрелка гальванометра G находилась на нулевом делении посередине шкалы. После замыкания ключа K₁ стрелка гальванометра отклонялась от равновесного положения вправо на максимальное число делений, равное n₁. На сколько делений и в какую сторону максимально отклонится стрелка гальванометра, если после замыкания ключа K₁ замкнуть ключ K₂? ЭДС батареи , её внутреннее сопротивление r и сопротивление резистора R известны.

Решение

По условию задачи, конденсатор был первоначально разряжен. Ясно, что после замыкания ключа K₁ через гальванометр будет течь ток до тех пор, пока напряжение на конденсаторе не станет равным ЭДС батареи. Поэтому к моменту окончания заряда конденсатора через гальванометр протечёт заряд q₁ = C. По условию задачи, после замыкания ключа K₁ стрелка гальванометра максимально отклонилась вправо на количество делений n₁, пропорциональное протекшему заряду, т.е. q₁ = αn₁, где α – коэффициент пропорциональности.

После замыкания ключа K₂ и перезарядки конденсатора напряжение между его обкладками, согласно закону Ома для замкнутой цепи, должно стать равным U = R/(R + r) <. Утверждая это, мы учли, что после перезарядки конденсатора через последовательно соединённые конденсатор, гальванометр и ключ K₁ ток протекать не будет. Таким образом, после замыкания ключа K₂ установившееся напряжение между обкладками конденсатора должно уменьшиться до величины U. Следовательно, за время перезарядки конденсатора через гальванометр должен протечь заряд Δq = q₁ – CV в направлении, противоположном направлению протекания заряда q₁. Время перезарядки конденсатора после замыкания ключа K₂ меньше времени его зарядки после замыкания ключа K₁ (сопротивление цепи зарядки уменьшилось, т.к. батарея была зашунтирована резистором R). Поэтому коэффициент пропорциональности α между протекшим зарядом и числом делений, на которое максимально отклонялась стрелка гальванометра, измениться не мог. Следовательно, максимальное отклонение стрелки гальванометра после замыкания ключа K₂ должно было быть равным n₂ = Δq/α = n₁r/(R + r). Утверждая это, мы считали, что перед замыканием ключа K₂ стрелка гальванометра была неподвижной и находилась на нулевом делении. Поскольку в качестве гальванометров обычно используют приборы магнитоэлектрической системы, отклонение стрелки которых зависит от направления протекающего через них тока, то стрелка гальванометра должна была отклониться от нулевого деления влево.

 

6 В сильном однородном горизонтальном магнитном поле индукцией B на расстоянии l друг от друга закреплены два тонких вертикальных проводящих стержня. Плоскость, в которой расположены стержни, перпендикулярна индукции магнитного поля. К верхним концам стержней подключена катушка индуктивностью L. На стержни надевают тонкую проводящую перемычку массой m и отпускают её с нулевой начальной скоростью. Перемычка начинает скользить по стержням без нарушения контакта с ними, оставаясь всё время горизонтальной. Найдите период установившихся колебаний перемычки. Сопротивлением проводников и трением пренебречь. Индуктивность стержней и перемычки много меньше индуктивности катушки.

Решение

Будем считать, что стержни и источник магнитного поля покоятся относительно лабораторной системы отсчёта и эта система является инерциальной. После отпускания перемычка начинает скользить вниз под действием силы тяжести mg , где g – ускорение свободного падения. Следовательно, поток магнитного поля, сцепленный с замкнутым контуром, образованным перемычкой, стержнями и соединяющей их катушкой индуктивности, начинает изменяться. В результате в этом контуре, согласно закону Фарадея, возникает индукционный ток. Следовательно, на перемычку, кроме силы тяжести, начинает действовать сила Ампера, направленная, согласно правилу Ленца, вертикально вверх. Направим ось Х выбранной лабораторной системы отсчёта вертикально вниз, а её начало совместим с исходным положением перемычки. Тогда, согласно второму закону Ньютона, уравнение движения перемычки в проекции на указанную ось можно представить в виде где и F_A – проекции ускорения перемычки и силы Ампера, действующей на неё, на ось Х. При составлении уравнения движения перемычки мы пренебрегаем, в соответствии с условием задачи, силами трения.

По условию задачи, рассматриваемая система находится в сильном однородном магнитном поле индукцией В. Следовательно, при решении задачи индукцию магнитного поля, сцеплённого с указанным контуром, следует считать равной В, а быстроту изменения магнитного потока в этом контуре равной Blυ. Здесь – проекция скорости перемычки на ось Х. По условию задачи, сопротивлением проводников следует пренебречь. Поэтому можно утверждать, что ЭДС самоиндукции возникающая в катушке, уравновешивает действие ЭДС, обусловленной изменением потока в указанном контуре, т.е. Учитывая, что в момент отпускания перемычки сила тока I в контуре и координата х перемычки равны нулю, из предыдущего уравнения получаем, что I = Blx/L. Поскольку проекция на ось Х силы Ампера, действующей на перемычку, равна F_A = –IBl, приведённое выше уравнение движения перемычки в проекции на ось Х можно представить в виде Следовательно, перемычка после отпускания при выполнении сделанных предположений будет совершать гармонические колебания с циклической частотой Поскольку период этих колебаний Т и их циклическая частота удовлетворяют соотношению ωT = 2π, то искомый период колебаний перемычки

 

7 Лампу накаливания, рассчитанную на рабочее напряжение постоянного тока U = 120 В, включают в сеть гармонического тока с амплитудой напряжения U₀ = 311 В и частотой f = 50 Гц последовательно с конденсатором ёмкостью C = 8,6 мкФ. При этом лампа потребляет номинальную мощность. Определите эту мощность N.

Решение

По условию задачи, лампа вместе с конденсатором включается с сеть гармонического тока с частотой f = 50 Гц и потребляет при этом такую же мощность, как и при непосредственном подключении к источнику постоянного напряжения. Поэтому при решении задачи индуктивностью нити лампы следует пренебречь, а её сопротивление при подключении к обоим источникам считать одинаковым.

Если номинальную мощность лампы обозначить N, то сила тока, текущего по нити лампы при её подключении к источнику постоянного напряжения U, будет равна I = N/U. При подключении лампы к источнику переменного напряжения она будет потреблять номинальную мощность, если эффективное значение текущего по нити лампы тока будет равно I. Поскольку сопротивление нити мы считаем одинаковым при её питании от двух указанных источников, то эффективное значение переменного напряжения на лампе при выполнении условия задачи и сделанных предположений должно быть равно U.

Как известно, эффективные значения гармонического тока I и напряжения U_C на конденсаторе связаны между собой соотношением U_C = I/(2πfC). Поскольку фазы гармонического напряжения и тока, протекающего через конденсатор, отличаются на 0,5π, а фазы гармонического напряжения и тока, протекающего через омическое сопротивление, совпадают, можно утверждать, что U₀²/2 = U² + U_C². Подставляя в это соотношение найденные ранее значения I и U_C, находим искомую мощность лампы:

 

8 В схеме, показанной на рисунке, ключ K длительное время был замкнут. В первый момент сразу после размыкания ключа на резисторе R выделялась мощность N = 90 Вт. Какое количество теплоты может выделиться на этом резисторе после размыкания ключа, если сопротивление резистора R = 25 Ом, индуктивность катушки L = 0,8 Гн, а её сопротивление r_L = 5 Ом?

Решение

По условию задачи, ключ K до размыкания был замкнут длительное время. Поэтому можно считать, что сила тока, текущего через катушку, установилась постоянной. Обозначим силу этого установившегося тока I₀. Непосредственно сразу после размыкания ключа сила тока в катушке не могла измениться, и весь этот ток должен протекать через резистор R. Поэтому, согласно закону Джоуля–Ленца, выделявшаяся на резисторе R мощность сразу после размыкания ключа должна была быть равной N = I₀²R, а энергия магнитного поля катушки в указанный момент времени была равна W₀ = 0,5LI₀².

В процессе убывания до нуля тока в цепи катушка–резистор энергия магнитного поля катушки должна была выделиться на резисторе R и омическом сопротивлении катушки r_L. Утверждая это, мы предполагали, что потерями энергии в указанной цепи на излучение можно пренебречь. Наконец, для ответа на вопрос задачи учтём, что силы тока, текущего через катушку L и резистор R, в любой момент времени одинаковы. Согласно закону Джоуля–Ленца, тепловая мощность, выделяющаяся на омическом сопротивлении элемента цепи, прямо пропорциональна его сопротивлению. Поэтому на резисторе R после размыкания ключа K при выполнении сделанных предположений выделится количество теплоты ΔQ = W₀R/(R + r_L). Подставляя в это выражение ранее полученное значение W₀, находим, что максимальное количество теплоты, которое могло выделиться на резисторе R после размыкания ключа K, равно ΔQ = 0,5LN/(R + r_L) = 1,2 Дж.