Абитуриенту

МГУ им. Ломоносова: физический факультет - 2008

Вступительные испытания по физике

Продолжение. См. № 22/08

I. Механика

5 На гладком горизонтальном столе лежит ступенчатый брусок массой M. На нём находится кубик массой m, прикреплённый лёгкой пружиной жёсткостью k к бруску так, как показано на рисунке. Коэффициент трения кубика о брусок равен µ. Пружина сжата на величину L нитью. Ось пружины и нить совпадают с горизонтальной прямой, проходящей через центр масс кубика. Найдите максимальную величину скорости бруска относительно стола после пережигания нити. Кубик всё время находится на бруске. Влиянием воздуха пренебречь.

Решение

По условию задачи, линия действия силы со стороны пружины на кубик проходит через его центр масс. Будем считать, что ось пружины лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центр масс бруска. При этих условиях можно считать, что после пережигания нити и кубик, и брусок будут двигаться поступательно относительно инерциальной системы, неподвижной относительно стола. При выполнении этих предположений, согласно законам изменения механической энергии и сохранения импульса, если кубик после пережигания нити сместился первый раз на расстояние х относительно бруска, то модули скорости кубика υ и бруска u должны удовлетворять уравнениям:

kL² = k(L – x)² + mυ² + Mu² + 2µmgx; mυ = Mu.

Следовательно,

Квадратичная функция u²(x) имеет максимум при x = x₀ = L – µmg/k, если kL > µmg, т.е. если модуль силы упругости сжатой пружины превышает модуль максимальной силы трения, действующей на кубик со стороны бруска. При kL ≤ µmg после пережигания нити брусок и кубик останутся неподвижными относительно стола. Таким образом, при kL > µmg модуль максимальной скорости движения бруска относительно стола после пережигания нити равен Если же kL ≤ µmg, то после пережигания нити кубик останется неподвижным относительно стола, т.е. u_max = 0.

6 На концах лёгкого стержня длиной 4L, свободно вращающегося вокруг горизонтальной оси О, проходящей через его середину, закреплены небольшие грузы массами m₁ и m₂, причём m₁ < m₂. На расстояниях L от оси к стержню прикреплены пружины жёсткостями k₁ и k₂ так, как показано на рисунке. В положении устойчивого равновесия стержень занимает вертикальное положение, пружины не деформированы, а их оси горизонтальны и лежат в одной вертикальной плоскости со стержнем. Найдите период гармонических колебаний стержня.

Решение

При решении задачи будем считать, что ось, на которой закреплён стержень, неподвижна относительно Земли, а неподвижная относительно Земли система отсчёта является инерциальной. По условию задачи, стержень совершает гармонические колебания. Следовательно, нужно считать, что на него и грузы не действуют силы трения, деформации пружин являются абсолютно упругими, а максимальный угол отклонения стержня от вертикали, в радианах, α1. В условии задачи массы пружин не заданы. Ясно, что в общем случае период колебаний рассматриваемой системы зависит от масс пружин. Поэтому, как это обычно и делается в подобных случаях, будем рассматривать простейший случай – считать пружины невесомыми.

Пусть угловая скорость стержня в тот момент времени, когда стержень, совершая гармонические колебания, проходит через положение равновесия, равна Ω = ωα, где ω – угловая частота колебаний. Тогда при выполнении сделанных предположений максимальная кинетическая энергия системы стержень–грузы–пружины–Земля равна W_k = 2(m₁ + m₂)L²ω²α², поскольку модули скоростей грузов в момент прохождения положения равновесия максимальны и равны υ = 2ΩL.

Будем считать, что в положении равновесия потенциальная энергия указанной системы равна нулю. При максимальном отклонении стержня от положения равновесия верхний груз опустится на высоту h = 2L(1 – cosα), а нижний груз поднимется на ту же высоту. Следовательно, потенциальная энергия грузов и Земли в этот момент времени станет равной

W_гр = 2gL(m₂ – m₁)(1 – cosα) ≈ gLα²(m₂ – m₁),

т.к., согласно сказанному выше, α1, а потому 1 – cosα ≈ α²/2.

Поскольку максимальное отклонение стержня от вертикали мало, то модуль максимальной деформации каждой из пружин можно считать равным αL. Следовательно, потенциальная энергия пружин при максимальном отклонении стержня от положения равновесия W_пр = 0,5α²L²(k₁ + k₂).

При выполнении сделанных предположений указанную систему тел можно считать изолированной и консервативной. Поэтому на основании закона сохранения механической энергии можно утверждать, что W_к = W_пр + W_гр. Подставляя в это соотношение полученные ранее значения энергии, после простых алгебраических преобразований получаем

ω² = [(k₁ + k₂)L + 2g(m₂ – m₁)]/[4(m₁ + m₂)]L].

Наконец, учитывая, что искомый период колебаний и найденная угловая частота удовлетворяют соотношению T = 2π/ω, получаем ответ:

II. Молекулярная физика и термодинамика

1 При изобарном нагревании гелия его абсолютная температура изменилась в n = 8 раз. На сколько изменилось при этом среднее расстояние между атомами гелия, если в исходном состоянии оно было равно L₀ = 4 нм?

Решение

При решении задачи будем считать, что при рассматриваемых условиях гелий подчиняется уравнению Клапейрона–Менделеева. Согласно этому уравнению, объём моля гелия равен V = RT/p, где R – универсальная газовая постоянная, Т – абсолютная температура, а р – давление гелия. Поскольку в моле гелия содержится число Авогадро N_A атомов, то среднее расстояние между атомами равно Следовательно, при изобарном нагревании моля гелия от абсолютной температуры T₁ до температуры T₂ среднее расстояние между его атомами должно увеличиться на

Продолжение следует