Абитуриенту
В. П.
Демков,
МАИ (ТУ), г. Москва;
В. В.
Озолин,
МАИ (ТУ), г. Москва;
Г. Э.
Солохина,
МАИ (ТУ), г. Москва
МАИ-2009: Российская аэрокосмическая олимпиада
Продолжение. См. №
22/2009,
6/2010
Билет 2
1. Две материальные точки равномерно движутся в одном направлении по окружностям радиусами R1 = 3 см и R2 = 8 см, лежащим в одной плоскости и имеющим общий центр. Скорость первой точки υ1 = 6 см/с, скорость второй точки υ2 = 12 см/с. Через какой минимальный промежуток времени точки, первоначально находящиеся на одном диаметре, вновь окажутся на одном диаметре?
Дано: R1 = 3 см, R2 = 8 см, υ1 = 6 см/с, υ2 = 12 см/с. |
Решение
Так как первоначально обе точки находятся на одном диаметре, то угловая координата φ, определяющая положение первой точки относительно второй, с течением времени будет меняться по закону Точки вновь окажутся на одном диаметре в момент времени, когда угол φ, на который первая точка повернётся относительно второй, станет равен 
Отсюда находим  |
Δt = ? |
Поскольку угловая скорость первой точки ω1 = υ1/R1= 2 рад/с больше угловой скорости второй точки ω2 = υ2/R2= 1,5 рад/с, то первая точка будет опережать вторую. Угловая скорость первой точки относительно второй ωотн =ω1 - ω2, или 
2. На гладкой горизонтальной поверхности находится призма массой М = 4 кг с углом при основании α = 30º, на ней – меньшая призма массой m = 1 кг. На меньшую призму действуют горизонтальной силой F = 12 H, при этом обе призмы движутся вдоль поверхности как одно целое, не изменяя взаимного расположения. Найдите силу трения между призмами.
Дано: М = 4 кг, α = 30º, m = 1 кг, F = 12 H. |
Решение
Поскольку, по условию задачи, обе призмы движутся как одно целое, то их ускорения одинаковы. Выберем инерциальную систему отсчёта и запишем уравнения движения тел в проекциях на оси системы координат XY:  где учтено, что Fтр′= Fтр и N1′=N1. Складываем уравнения (1) и (3): (M + m)a = F, и находим ускорение призм: Выразим из уравнения (2)  |
Fтр = ? |
На верхнюю призму будут действовать четыре силы: сила F, приложенная к призме, сила тяжести mg, сила нормальной реакции опоры N1 со стороны нижней призмы и сила трения между призмами Fтр. На нижнюю призму также будут действовать четыре силы: сила тяжести Mg, сила нормальной реакции опоры N2 со стороны горизонтальной поверхности и две силы взаимодействия с верхней призмой – сила трения Fтр′ и сила давления N1′, которые, по третьему закону Ньютона, по величине равны силам Fтр′и N1′ и направлены противоположно этим силам.
и подставим в (1) с учётом полученного выражения для ускорения:
3. Пуля вылетела из дула ружья со скоростью υ0 = 600 м/с. В высшей точке траектории кинетическая энергия пули равна Ек = 450 Дж. Под каким углом к горизонту произведён выстрел? Масса пули m = 10 г. Сопротивление воздуха не учитывать.
Дано: υ0 = 600 м/с, Ек = 450 Дж, m = 10 г. |
Решение При отсутствии сопротивления воздуха полная механическая энергия тела, брошенного вблизи поверхности земли с начальной скоростью υ0 под углом α к горизонту, будет сохраняться: в любой момент движения сумма кинетической Ек и потенциальной Еп энергий будет равна начальной кинетической энергии: В верхней точке траектории Еп = mgh, где  |
α = ? |
– максимальная высота подъёма тела.
4. Тело, подвешенное на пружине, совершает вертикальные гармонические колебания. Координата тела относительно положения равновесия меняется по закону x = Acos(4πt). Через какое время после начала колебаний тело пройдёт путь, равный трём амплитудам колебаний?
Дано: x = Acos(4πt), s = 3А. |
Решение Запишем уравнение гармонических колебаний тела в виде x = Acos(ωt + φ0), (5) где x – координата тела, отсчитываемая от положения равновесия; A – амплитуда колебаний; ω – циклическая частота; ω0 – начальная фаза. Сравнивая заданный закон колебаний груза x = Acos(4πt) с (5), получаем: ω = 4πc(–1); φ0 = 0. Следовательно, период колебаний груза  Поскольку в начальный момент времени t = 0 координата тела, совершающего гармонические колебания по закону x = Acos(4πt) равна x0 = A (т. е. тело начинает движение с крайнего положения), то путь, равный s = 3А, тело пройдёт за время Δt = (3/4)T = 0,75 ∙ 0,5 = 0,375 с. |
Δt = ? |