Абитуриенту
В. П.
Демков,
МАИ (ТУ), г. Москва;
В. В.
Озолин,
МАИ (ТУ), г. Москва;
Г. Э.
Солохина,
МАИ (ТУ), г. Москва
МАИ-2009: Российская аэрокосмическая олимпиада
Билет 1
1. Две материальные точки равномерно движутся по окружностям, лежащим в одной плоскости и имеющим общий центр. Радиус первой окружности R1 = 3 см, радиус второй R2 = 5 см. При движении в одну сторону они оказываются в точках, принадлежащих одному диаметру, через каждые t1 = 6 c, при движении в разные стороны – через каждые t2 = 3 c. С какими скоростями движутся точки? Рассмотрите возможные случаи.
Дано: R1 = 3 см, R2 = 5 см, t1 = 6 c, t2 = 3 c. |
Решение Так как точки движутся по разным окружностям, решение задачи удобно проводить в угловой координате φ, характеризующей угол поворота прямой, соединяющей центр окружности и рассматриваемую точку в любой момент времени. Предположим, что в начальный момент времени обе точки имели значение координаты φ0 = 0. Тогда к моменту времени t1 координаты первой и второй точек будут равны φ1 = ω1t1; φ2 = ω2t1, где ω1, ω2 – угловые скорости первой и второй точки. Согласно условию задачи, в этот момент времени разность координат точек должна стать равной π (см. рис. а), т.е. φ1 – φ2 = π, или (ω1 – ω2) · t1 = π. 
Аналогично для случая, когда точки движутся в противоположных направлениях (рис. б), можно записать φ1 + φ2 = π; (ω1 + ω2) · t2 = π. Решая систему уравнений, получаем 
Соответственно линейные скорости точек равны 
Существует и ещё одно решение. В случае, если точка 1 движется по окружности радиуса R2 и, наоборот, точка 2 движется по окружности радиуса R1, получаем 
|
υ1 = ? υ2 = ? |
2. Клин с углом наклона α = 30° находится на столе. На наклонной плоскости клина расположен брусок, удерживаемый от соскальзывания нитью, переброшенной через легкий блок. С какой силой F следует тянуть за нить в горизонтальном направлении, чтобы брусок не перемещался по клину? Масса клина M = 1 кг, масса бруска m = 0,5 кг. Трения в системе нет.
Дано: α = 30°, M = 1 кг, m = 0,5 кг. |
Решение 
Расставим силы, действующие на брусок и клин, и выберем инерциальную систему отсчёта XY, как показано на рисунке. Запишем уравнения движения бруска и клина: ma = Fcosα – N1sinα, (1) 0 = Fsinα + N1cosα – mg, (2) Ma = F – Fcosα + N1sinα, (3) 0 = N2 – Mg – N1cosα – Fsinα. (4) Следует заметить, что уравнение (4) для решения задачи нам не потребуется. Итак, имеем систему трех уравнений (1)–(3) с тремя неизвестными: α, F и N1. Выразим из уравнения (1) ускорение 
и подставим его в (3): 
Из уравнения (2) выразим N1: 
Выражая из этого уравнения искомую силу F, окончательно имеем 
|
F = ? |
и подставим это выражение в (5):
3. Поезд массой m = 2000 т при торможении с ускорением а = 0,3 м/с2 остановился спустя время τ = 50 с после начала торможения. Какое количество теплоты выделилось при торможении?
Дано: m = 2000 т, а = 0,3 м/с2, τ = 50 с. |
Решение Согласно закону сохранения полной энергии, в тепло переходит вся кинетическая энергия, которую поезд имел к началу торможения: Начальную скорость υ определим из формулы кинематики для равнозамедленного движения υ – aτ = 0; υ = aτ. Окончательно получаем  |
Q = ? |
4. Тело совершает гармонические колебания, при этом его скорость изменяется по закону υ = 12cos(8t) см/с. Найдите амплитуду колебаний тела.
Дано: υ = 12cos(8t) см/с. |
Решение Запишем закон гармонических колебаний точки с начальной фазой, равной нулю: x = Asinωt. Здесь х – смещение точки от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота колебаний, t – время. Из явного вида x(t) следует, что скорость точки в любой момент времени υ = x′ = Aωcosωt. Сравнивая полученное выражение с заданным в условии задачи законом, получаем ω = 8 с–1; Aω = 12 см/с, откуда и находим искомое значение амплитуды колебаний  |
A = ? |
5. В прямоугольном сосуде с дном в виде квадрата со стороной а = 2,5 см находится некоторая масса газа при температуре Т1 = 300 К и давлении p1 = 1,5 · 105 Па. Сосуд закрыт крышкой, которая герметично прижимается к стенкам сосуда под действием силы тяжести, масса крышки М = 20 кг. До какой температуры Т2 надо нагреть газ в сосуде, чтобы он начал выходить, приоткрыв крышку? Атмосферное давление p0 = 105 Па.
Дано: а = 2,5 см, Т1 = 300 К, p1 = 1,5 · 105 Па, М = 20 кг, p0 = 105 Па. |
Решение
Когда крышка приподнимается, сила реакции стенок N = 0, а давление газа в сосуде p = p2. Запишем для этого случая равенство сил в проекции на ось Y: F – Fатм – Mg = 0, или p2S – p0S – Mg = 0, где S = а2 – площадь крышки. Отсюда выразим давление, которое необходимо для поднятия крышки сосуда: 
Теперь применим уравнение Клапейрона–Менделеева для начального и конечного состояний газа в сосуде: p1V = νRT1; p2V = νRT2. Разделив эти уравнения друг на друга, получаем: 
|
Т2 = ? |
Рассмотрим равновесие крышки сосуда. На неё действуют четыре силы: тяжести (Mg), сила атмосферного давления (|Fатм| = p0S), сила давления газа, находящегося внутри сосуда, (|F| = pS) и сила реакции со стороны стенок сосуда N.