Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Физика»Содержание №6/2010

Абитуриенту

В. П. Демков,
МАИ (ТУ), г. Москва;
В. В. Озолин,
МАИ (ТУ), г. Москва;
Г. Э. Солохина,
МАИ (ТУ), г. Москва

МАИ-2009: Российская аэрокосмическая олимпиада

Продолжение. См. № 22/2009

Билет 1 (окончание)

МАИ рис.1 6. С одноатомным идеальным газом осуществляют циклический процесс 1–2–3–4–1, изображённый на рисунке. Процессы 1–2 и 3–4 адиабатические. Определите КПД цикла, если V2 = 1,52V1.


Дано:

V2 = 1,52V1.

Решение

По определению, КПД термодинамического цикла равен

формула1

где Qпол – тепло, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя, |Qотд| – тепло, отданное рабочим телом холодильнику.

Проведём анализ заданного цикла. По условию задачи, процессы 1–2 и 3–4 адиабатические, т. е. без подвода и отвода теплоты.

Тепло к газу подводится в процессе 4–1. Запишем первое начало термодинамики для этого процесса:

Qпол = Q41 = ΔU41 + A41.

Поскольку процесс изохорный, то работа газа в этом процессе A41 = 0. Изменение внутренней энергии одноатомного газа ΔU41 = (3/2)νR(T1T4).

Заменяя температуру из уравнений состояния идеального газа

4p0V1 = νRT1,

2p0V1 = νRT4,

получаем

ΔU41 = (3/2)(4p0V1 – 2p0V1) = 3p0V1.

Следовательно, Qпол = ΔU41 = 3p0V1.

Отводится тепло в процессе 2–3, который является также изохорным (A23 = 0). Аналогично получаем

Qотд = Q23 = ΔU23 = (3/2)νR(T3T2) = (3/2)(p0V2 – 2p0V2) = –(3/2)p0V2.

Подставляя выражения для Qпол и Qотд в формулу КПД цикла и учитывая, что V2 = 1,52V1, находим

формула2

η = ?

 

7. Капля воды радиусом R = 10–5 м неподвижно висит в электрическом поле напряжённостью Е = 100 В/м, направленном вертикально вниз. Сколько избыточных электронов находится на капле? Плотность воды ρ = 1000 кг/м3, модуль заряда электрона |е| = 1,6 · 10–19 Кл.

Дано:

R = 10–5 м,

Е = 100 В/м,

ρ = 1000 кг/м3,

|е| = 1,6 · 10–19 Кл.

Решение

На каплю действует сила тяжести mg, направленная вертикально вниз. Чтобы капля находилась в равновесии, сила электростатического поля (F = qE, где q – заряд капли) должна быть направлена вертикально вверх.

рис.2 Это может быть только в том случае, если заряд капли отрицателен.

Условие равновесия капли: mg = F или mg = |q|E. Массу капли можно выразить через её плотность и объём: m = ρV.

Считая, что капля имеет вид шара радиусом R, запишем:

V = (4/3)πR3 и m = (4/3)πρR3.

Подставив массу в условие равновесия капли, находим величину заряда капли

формула3

и число избыточных электронов на ней

формула4

N = ?

 

8. При силе тока в цепи I1 = 2 А полезная мощность источника тока равна N1 = 10 Вт, а при силе тока I2 = 4 А его полезная мощность N2 = 16 Вт. Какую максимальную полезную мощность может дать этот источник?

Дано:

I1 = 2 А,

N1 = 10 Вт,

I2 = 4 А,

N2 = 16 Вт.

Решение

Рассмотрим цепь, состоящую из источника тока и внешнего сопротивления. Найдём, при каком значении внешнего сопротивления полезная мощность, выделяющаяся в цепи, максимальна.

Согласно закону Джоуля-Ленца, полезная мощность в цепи

N = I2R. (1)

Выражая ток из закона Ома для полной цепи

формула5

получаем

формула6

Здесь r – внутреннее сопротивление источника тока.

Проанализируем полученное выражение на экстремум, взяв первую производную (по переменному сопротивлению R) и приравняв её к нулю:

формула7

Отсюда получаем, что мощность максимальна при условии R = r. Следовательно, максимальная полезная мощность в цепи определяется выражением

формула8

Таким образом, для расчёта Nmax необходимо из условий задачи определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока.

Применим закон Джоуля–Ленца (1) к первому случаю и запишем N1 = I12R1. Сопротивление цепи R1 выражаем из закона Ома (2): формула9 Подставляя, получаем

N1 = ЭДСI1I12 r. (4)

Аналогично можно записать и для второго случая:

N2 = ЭДСI2I22 r. (5)

Мы получили систему уравнений (4), (5) с двумя неизвестными ЭДС и r. Решая эту систему, находим:

формула10

Подставляя ЭДС и r в формулу (3), находим окончательный ответ задачи:

формула11

Nmax = ?

 

9. В неидеальном колебательном контуре ёмкость конденсатора C = 10–8 Ф, а индуктивность катушки L = 10–6 Гн. В некоторый момент времени напряжение на обкладках конденсатора равно U = 1 В, а ток через катушку I = 0,1 А. Какое количество теплоты выделится в контуре c этого момента до полного затухания колебаний?

Дано:

C = 10–8 Ф,

L = 10–6 Гн,

U = 1 В,

I = 0,1 А.

Решение

В начальный момент времени полная энергия в контуре складывается из энергии электрического поля конденсатора

формула12

и энергии магнитного поля катушки индуктивности

формула13

При полном затухании колебаний вся имеющаяся в начальный момент энергия выделится на сопротивлении в виде тепла:

формула14

Q = ?

Продолжение следует