Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные испытания по физике на факультеты химический, физико-химический, биоинженерии и биоинформатики

Продолжение. См. № 02, 05/09

Вариант 2 (окончание)

7. Шарик для пинг-понга массой m = 10 г удерживают под водой на глубине H = 1 м. После того как шарик отпустили, он всплывает и выскакивает из воды в воздух на высоту h = 0,2 м. Какую работу A_тр совершили при этом силы трения? Радиус шарика R = 2 см, плотность воды ρ = 1 · 10³ кг/м³, g = 10 м/с².

Решение

Используем закон сохранения энергии. Примем за нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии в поле тяготения уровень, на котором находился шарик в исходном положении. В результате работы, совершённой выталкивающей силой (силой Архимеда) F_A и силами трения (о воду и воздух) потенциальная энергия шарика в поле тяготения увеличивается:

F_A · H + A_тр = mg(H + h).

Выталкивающая сила равна, как известно, F_A = ρgV, где ρ – плотность воды, а V – объём шарика, равный 4/3πR³ Используя это, из первого равенства получаем ответ задачи:

A_тр = mg(H + h) - ρg 4/3πR³ H = -0,2 Дж.

 

8. Пластины плоского воздушного конденсатора расположены горизонтально. Верхняя пластина подвешена на проводящей пружине, а нижняя закреплена неподвижно. Конденсатор включён в схему, показанную на рисунке. При этом расстояние между пластинами конденсатора оказалось равным d = 0,3 мм. Каков вес верхней пластины P в данных условиях? Масса пластин m = 5 г, их площадь S = 100 см². ЭДС источника равна = 100 В. Электрическую постоянную принять равной ε₀ ≅ 9 · 10^–12 Кл²/(Н · м²), ускорение свободного падения g = 10 м/с².

Решение

Запишем условие равновесия верхней пластины (2-й закон Ньютона):

0 = T – mg – F_e.

Здесь Т – сила реакции подвеса, т.е. как раз сила, равная весу пластины. Сила электрического притяжения Fe между разноимённо заряженными пластинами равна F_e = qE₁, где E₁ – напряжённость поля одной пластины. Для однородного поля напряжённость довольно просто связана с разностью потенциалов Δφ между точками этого поля, находящимися на одной силовой линии на расстоянии d друг от друга: поэтому

Исходя из определения электроёмкости конденсатора заряд каждой пластины равен по модулю q = C. Электроёмкость плоского конденсатора равна Решая уравнения совместно, получим

 

9. При прыжках на лыжах с трамплина скорость лыжника в момент отрыва равна υ₀ и направлена горизонтально, а угол наклона поверхности приземления равен α. Какова оказалась бы дальность полёта лыжника S, если бы не было сопротивления воздуха?

Решение

Это задача на кинематику равнопеременного движения. Ускорение свободного падения направлено по вертикали. Поэтому выберем систему отсчёта, связанную с Землёй, одну ось координат которой направим по вертикали, а другую – по горизонтали. Выбор начала координат также представлен на рисунке. Тогда движение лыжника в отсутствие сопротивления воздуха удобно представить, как сумму двух независимых движений – по горизонтали и по вертикали (по оси Х и по оси Y). Движение по горизонтали является равномерным со скоростью υ₀. Закон движения в этом случае имеет вид: x(t) = υ₀t.

Движение по вертикали происходит с постоянным ускорением g и с начальной скоростью, равной нулю. Соответствующий закон движения поэтому можно записать так:

где h – разность высот точки отрыва лыжника от трамплина и точки приземления. Обозначим время полёта лыжника буквой τ. С учётом выбора системы отсчёта в момент приземления координаты лыжника равны x(τ) = L и у(τ) = 0. Здесь буквой L мы обозначили дальность полёта лыжника по горизонтали. Значения h и L связаны с искомой дальностью полёта лыжника s очевидными геометрическими соотношениями:

h = s · sinα и L = s · cosα.

В итоге приходим к системе двух уравнений:

Исключая время полёта, приходим к ответу задачи:

 

10. Некоторое количество идеального одноатомного газа участвует в циклическом процессе. При этом его внутренняя энергия U меняется так, как показано на рисунке. Определите работу газа за один цикл процесса. Значения U₁ и U₃, а также V₁ и V₂ определите по графику.

Решение

Внутренняя энергия ν молей одноатомного идеального газа равна U = 3/2νRT^* и это означает, что температура менялась таким же образом, как и внутренняя энергия на рисунке условия задачи. Линейный рост и уменьшение этих величин (U и T) означают изобарные процессы расширения и сжатия газа. Для расчёта работы газа полезно изобразить циклический процесс на p, V-диаграмме. Участки цикла 1–2 и 3–4 – изобары, 2–3 и 4–1 – изохоры. Получим прямоугольник, площадь которого в соответствующих единицах и равна искомой работе газа за цикл А:

A = (p₁ – p₂)(V₂ – V₁) = p₁(V₂ – V₁) – p₂(V₂ – V₁).

Из уравнения состояния идеального газа (уравнения Клапейрона–Менделеева) следует:

p₁(V₂ – V₁) = νR(T₂ – T₁);

p₂(V₂ – V₁) = νR(T₃ – T₄).

С учётом вышеприведённого выражения для внутренней энергии газа

A = 2/3(U₂ - U₁) - 2/3(U₃ - U₄),

или

A = 2/3(U₂ - U₁ - U₃ + U₄).

Значения внутренней энергии газа в состояниях 2 и 4 можно найти, используя всё тот же график условия задачи:

В итоге приходим к окончательному результату решения задачи:

Значения величин U₁ = 2 кДж, U₃ = 3 кДж, V₁ = 1 м3 и V₂ = 4 м3, как и предложено в условии, определены по графику.

 

Вариант 3

1. Сформулируйте закон всемирного тяготения.

2. Что такое относительная влажность воздуха?

3. Выведите формулу для расчёта эквивалентного сопротивления параллельно соединённых резисторов R₁ и R₂.

Решение

При параллельном соединении резисторов ток разветвляется в точке их соединения. Сила тока до разветвления I = I₁ + I₂, где I₁ и I₂ – сила токов через резисторы. При параллельном соединении резисторов падение напряжения на них одинаково: U₁ = U₂ = U. С учётом закона Ома U = I₁R₁ = I₂R₂. Учитывая, что, по определению, эквивалентное сопротивление соединённых резисторов R = U/I, получаем

4. В схеме, изображённой на рисунке, резисторы R₁ и R₂ имеют одинаковые сопротивления R. ЭДС источника (t) меняется по гармоническому закону, также представленному на рисунке. Изобразите графически зависимость U(t) напряжения на резисторе R₂ от времени.

Решение

В течение первой половины периода, когда диод заперт, ток через него не идёт. Полное сопротивление внешней цепи равно R₁ + R₂. Падение напряжения на каждом из одинаковых резисторов равно половине ЭДС; его амплитуда составляет 10 В. В течение второй половины полное сопротивление цепи равно R₂, максимальное падение напряжения на этом резисторе равно ЭДС, его амплитуда 20 В. Зависимость напряжения на резисторе R₂ от времени изображена на рисунке (если за нулевой потенциал выбрана точка соединения резисторов).

Продолжение следует

---

^* Если идеальный газ не является одноатомным, то внутренняя энергия также прямо пропорциональна его абсолютной температуре (в зависимости от диапазона температур может измениться лишь коэффициент пропорциональности).