Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные испытания по физике на факультеты химический, физико-химический, биоинженерии и биоинформатики

Вступительные испытания по физике
на факультеты химический, физико-химический, биоинженерии и биоинформатики

Продолжение. См. № 02/09

Вариант 1 (окончание)

9. По ледяной горке с высоты Н = 5 м соскальзывает маленькая шайба. Внизу горка плавно переходит в другую горку из утрамбованного снега. Шайба поднимается по снежной горке на высоту h = 3 м относительно нижней точки траектории и снова соскальзывает обратно. На какую максимальную высоту h₁ шайба поднимется затем опять по ледяной горке? Считать, что ледяная горка и переход на снежную горку гладкие, а сама снежная горка – шероховатая. Принять g = 10 м/с².

Решение

Для решения задачи применим закон сохранения энергии. За нулевой уровень отсчёта потенциальной энергии в поле тяготения примем уровень, проходящий через наинизшую точку траекторию движения шайбы. Тогда, с учётом потери механической энергии за счёт работы силы трения, шайба поднимается по снежной горке на высоту h, определяемую равенством

mgH + A_тр = mgh.

Аналогично для второго этапа движения справедливо

mgh + A_тр = mgh₁.

Очень важно, что работа силы трения скольжения одинакова на этапах движения вверх и вниз по горке из утрамбованного снега. Она (в первом приближении) не зависит от скорости и, как известно, равна A_тр = –µNs. Здесь N – модуль нормальной составляющей реакции опоры, а s – модуль перемещения шайбы на соответствующем этапе движения. Остаётся только вычесть из одного равенства другое и получить ответ:

h₁ = 2h – H = 1 м.

Обратим внимание на то, что нет никакой необходимости следить за переходом исходного запаса потенциальной энергии в кинетическую и обратно.

10. В опытах Милликена по определению элементарного электрического заряда наблюдалось движение маленькой капельки масла в зазоре между горизонтальными пластинами плоского воздушного конденсатора. Вследствие сопротивления воздуха капелька падает с установившейся постоянной скоростью υ₀ = 0,1 см/с при незаряженном конденсаторе. Когда на конденсатор подаётся напряжение U = 500 В, капелька начинает подниматься вверх со скоростью υ₁ = 0,05 см/с. Сколько избыточных электронов несёт капелька? Её масса равна m = 10^–11 г, а расстояние между пластинами конденсатора d = 8 мм. Силу сопротивления воздуха считать пропорциональной скорости капельки. Принять g = 10 м/с², а заряд электрона e = –1,6 · 10^–19 Кл.

Решение

Выберем инерциальную систему отсчёта, связанную с Землёй, направив координатную ось по вертикали. В отсутствие электрического поля между пластинами конденсатора капелька падает вниз с установившейся постоянной скоростью. Уравнение движения капельки в этом случае имеет вид

0 = mg – kυ₀.

Здесь учтено, что при движении в воздухе на капельку действует сила вязкого трения, пропорциональная скорости её движения.

Когда на конденсатор подаётся напряжение, капелька начинает подниматься вверх с новой установившейся скоростью v1. Соответствующее уравнение движения таково:

0 = F_e – mg – kυ₁.

Сила, действующая со стороны электрического поля, равна по модулю F_e = |q|E. Напряжённость электрического поля Е для однородного поля плоского конденсатора связана с разностью потенциалов (напряжением) между его пластинами и расстоянием между ними:

E = U/d.

Заряд капельки кратен элементарному заряду – заряду электрона:

|q| = N|e|.

Решая полученную систему уравнений, получаем число избыточных электронов, которые несёт капелька:

Отметим, что как раз небольшое количество избыточных электронов на капельке позволило добиться достаточно высокой точности определения величины элементарного заряда в опытах Милликена (1908–1917).

Вариант 2

1. Напишите уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

2. Что такое внутренняя энергия термодинамической системы?

3. На рисунке приведена зависимость от времени t силы тока I, протекающего по соленоиду (длинной проволочной катушке) индуктивностью L = 2 мГн. Найдите максимальное значение ЭДС самоиндукции _si, возникающей при этом в катушке.

Решение

По закону Фарадея, ЭДС индукции _i равна скорости изменения магнитного потока Φ через поверхность, ограниченную проводящим контуром:

Знак «–» связан лишь с направлением этой ЭДС (правило Ленца), поэтому для дальнейшего анализа значения не имеет. Учтём, кроме того, что собственный магнитный поток через поверхность, ограниченную витками катушки, пропорционален силе протекающего по ней тока:

Φ = LI,

где L – индуктивность (коэффициент самоиндукции) соленоида. Соответственно ЭДС самоиндукции равна

Отсюда ясно, что _si максимальна в промежутке времени от 2 до 3 с. В этом интервале максимален наклон графика зависимости I(t), а значит, и Φ(t). Остаётся воспользоваться численными значениями на графике:

4. Гравитационная постоянная, определённая экспериментально в опытах Кавендиша, оказалась равной примерно G ≅ 6,7 · 10^–11 м³/(кг · с²). Считая, что в месте проведения эксперимента радиус Земли равен R = 6400 км, а ускорение свободного падения g = 9,8 м/с², оцените массу Земли M, не прибегая к другим табличным данным.

Решение

В опытах Кавендиша с помощью очень чувствительных крутильных весов впервые было найдено численное значение гравитационной постоянной G. Этот эксперимент называют ещё «взвешиванием Земли». Связано это как раз с тем обстоятельством, что, зная G, радиус Земли R и ускорение свободного падения g в месте проведения эксперимента, можно найти массу Земли М. Для этого достаточно написать закон всемирного тяготения:

и второй закон Ньютона для свободно падающего тела:

mg = F_G.

Из этих двух равенств легко получить

Заметим, что это единственный способ корректного «взвешивания» Земли.

5. К источнику тока внутренним сопротивлением r = 5 Ом подключён резистор сопротивлением R₁ = 25 Ом. Каково сопротивление резистора R₂, который надо включить в цепь последовательно, чтобы мощность, выделяемая на резисторе R₁, уменьшилась в n = 4 раза?

Решение

Мощность, выделяемая на резисторе R₁, по закону Джоуля–Ленца, равна P = I²R₁. Следовательно, отношение мощностей P₂/P₁ = 1/n = I₂²/I₁² .

Силу тока легко найти по закону Ома для полной цепи:

Совместное решение приведённой системы уравнений приводит к ответу на вопрос задачи:

6. Предмет располагается на двойном фокусном расстоянии от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием F. Линзу заменяют на собирающую с таким же положением фокусов. Определите отношение k линейных увеличений даваемых линзой изображений предмета в первом и втором случаях.

Решение

Линейное увеличение даваемого линзой изображения предмета – это отношение линейных размеров изображения и предмета. Можно показать (например, построением), что оно равно отношению расстояния f от изображения до линзы к расстоянию d от предмета до линзы: k = f/d. Расстояние между рассеивающей линзой и изображением предмета можно найти по формуле линзы: Знак «минус» в левой части как раз соответствует рассеивающей линзе, а в правой – тому, что изображение в этом случае мнимое. Из данного равенства нетрудно найти f₁ = 2/3F, а значит, и линейное увеличение в первом случае:

Во втором случае, когда предмет находится на двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы (d = 2F), его действительное изображение формируется на таком же расстоянии за линзой, т.е. f₂ = 2F (это можно проверить с помощью формулы линзы или путём построения). Размер этого изображения совпадает с размером предмета, поэтому k₂ = 1.

Теперь остаётся взять отношение линейных увеличений в первом и втором случаях:

Продолжение следует