Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные испытания по физике на факультеты химический, физико-химический, биоинженерии и биоинформатикиносова: факультеты химический, физико-химический, биоинженерии и биоинформатики - 2008

Вариант 1

1. Сформулировать закон электромагнитной индукции Фарадея.

2. Что такое резонанс?

3. Исходя из представлений классической молекулярно-кинетической теории строения вещества оценить среднюю квадратичную скорость υ теплового движения молекул аргона в атмосферном воздухе при температуре Т = 300 К. Относительная атомная масса аргона М_r = 40. Универсальную газовую постоянную принять равной R = 8,3 Дж/(моль · К).

Решение

При нормальных условиях аргон в атмосферном воздухе можно считать идеальным газом. Средняя кинетическая энергия теплового движения его одноатомных молекул равна

Масса молекул аргона может быть найдена исходя из его молярной массы:

Здесь М_r – относительная атомная масса аргона. Используя приведённые соотношения и вспоминая, что произведение постоянной Больцмана k и числа Авогадро N_A равно универсальной газовой постоянной R, запишем ответ на вопрос задачи:

4. Точечный источник света располагается в фокусе тонкой собирающей линзы. За линзой в её фокальной плоскости установлен экран. Источник перемещают в точку на главной оптической оси линзы, находящуюся на двойном фокусном расстоянии от линзы. Во сколько раз k при этом изменится диаметр круглого светлого пятна на экране?

Решение

По свойству тонкой собирающей линзы лучи света от точечного источника света, расположенного в её фокусе, после линзы идут параллельно главной оптической оси линзы. Они формируют на экране Э круглое пятно одинакового с линзой размера.

Для построения хода лучей во втором случае проведём побочную оптическую ось ОС, параллельную падающему на линзу лучу 1.

Преломлённый луч АСD пересекается с этой побочной оптической осью в фокальной плоскости в точке С. Все необходимые построения выполнены на рисунке^*. Из подобия треугольников ОАD и FCD получим отношение радиусов, а значит, и диаметров светлых пятен на экране в первом и втором случаях:

5. Речной катер совершает рейсы от одной пристани вниз по течению реки до другой и обратно. Скорость течения реки u = 3 км/ч, скорость катера в стоячей воде υ = 10 км/ч. Определите среднюю величину скорости υ_ср движения катера на всём маршруте туда и обратно.

Решение

Средняя величина скорости υ_ср катера равна отношению пути s на всём маршруте туда и обратно к общему времени движения Δt. По закону сложения скоростей (Галилея) классической механики, при движении по течению скорость катера относительно берега равна сумме скорости катера в стоячей воде υ и скорости течения реки u. При движении против течения – их разности. Соответственно время движения на этих этапах равно

С учётом сказанного искомая величина

Остаётся несколько упростить эту запись и получить окончательный результат:

6. В некоторой точке пространства пересекаются два луча от когерентных источников света длиной волны λ. Оптическая разность хода этих лучей составляет Δ = 0,6λ. Определитe разность фаз колебаний векторов напряжённости электрического поля E, возбуждаемого соответствующими волнами в данной точке пространства.

Решение

Как мы знаем, при определённых условиях свет проявляет волновые свойства. Две когерентные электромагнитные волны вызывают колебания векторов напряжённости электрического поля Е (а также и магнитной индукции В) в рассматриваемой точке пространства по законам:

Е₁(x,t) = Е₀₁cos(ωt + φ₁);

Е₂(x,t) = Е₀₂cos(ωt + φ₂);

Разность фаз ∆φ = φ₂ – φ₁ этих колебаний как раз и определяется оптической разностью хода Δ соответствующих лучей, вдоль которых распространяются волны. Чтобы выяснить связь этих величин, запишем уравнение волны, «бегущей» вдоль некоторого направления Х:

Е(x,t) = Е₀cos(ωt – kx)^**.

Здесь х – оптический путь луча, а k = 2π/λ – волновое число. Отсюда ясно, что «оптическая разность хода» обуславливает искомую разность фаз колебаний, равную

7. По медному проводу цилиндрической формы сечением S = 1 мм² течёт постоянный ток силой I = 1 А. Оцените среднюю скорость направленного («дрейфового») движения свободных электронов в этом проводнике υ_др. Считать, что на каждый атом кристаллической решётки меди приходится один свободный электрон. Плотность меди r = 8,9 · 10³ кг/м³, её относительная атомная масса М_r = 64. Число Авогадро принять равным N_А = 6 · 10²³ моль^-1, заряд электрона e = –1,6 · 10^-19 Кл.

Решение

По определению плотности тока j, в случае протекания по металлическому проводнику постоянного тока сила тока равна I = jS. Здесь S – площадь поперечного сечения проводника. С другой стороны, плотность тока связана с концентрацией свободных носителей заряда n (в данном случае электронов), их зарядом e и средней скоростью их направленного (дрейфового) движения υ_др: j = n|e|υ_др.

Концентрацию n можно определить, учитывая предположение, что на каждый атом кристаллической решётки меди приходится один свободный электрон:

где V_µ и M = М_r · 10^-3 кг/моль – объём одного моля и молярная масса меди соответственно. Используя представленные соотношения, приходим к ответу:

Как видим, при протекании токов, характерных для бытовых электросетей, скорость направленного движения электронов много меньше скорости их хаотического теплового движения (порядка 10⁵ м/с).

8. Внутренняя энергия некоторого количества идеального одноатомного газа изменялась при его расширении из состояния 1 до состояния 2 в соответствии с графиком, представленным на рисунке. Найдите количество теплоты Q, полученное газом в этом процессе.

Решение

Количество теплоты, переданное термодинамической (ТД) системе, равно сумме изменения её внутренней энергии ∆U и совершённой системой работы над внешними телами: Q = ∆U + A.

В соответствии с графиком, представленным на рисунке в условии задачи, внутренняя энергия газа увеличивалась прямо пропорционально его объёму. Внутренняя энергия n молей одноатомного идеального газа равна U=3/2νRT ^***, и это означает, что температура росла таким же образом. Теперь, используя объединённый газовый закон

нетрудно установить, что процесс 1–2 – изобарный! Для такого процесса работа газа равна А = p∆V. Если записать уравнение состояния идеального газа для исходного и конечного состояний, а затем вычесть из второго уравнения первое, то получим

p∆V = νR∆T.

Теперь легко получить ∆U=3/2νR∆T А = 2/3 ∆U и ответ на вопрос задачи:

Q = 5/3∆U = 2,5 кДж

Численные значения внутренней энергии в исходном и конечном состояниях взяты из графика, представленного на рисунке в условии задачи.

Продолжение следует

---

^* Чтобы убедиться, что во втором случае продолжения лучей за линзой пересекаются точно на двойном фокусном расстоянии (изображение источника), можно применить формулу линзы.

^** Можно также просто исходить из того, что разности хода в одну длину волны Δ = λ соответствует разность фаз ∆φ = 2π.

^*** Если идеальный газ не является одноатомным, то его внутренняя энергия также прямо пропорциональна его абсолютной температуре (в зависимости от диапазона температур может измениться лишь коэффициент пропорциональности).