МАИ-2009: Российская аэрокосмическая олимпиада

Дано:

V₂ = 1,52V₁.

Решение

По определению, КПД термодинамического цикла равен

где Q_пол – тепло, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя, |Q_отд| – тепло, отданное рабочим телом холодильнику.

Проведём анализ заданного цикла. По условию задачи, процессы 1–2 и 3–4 адиабатические, т. е. без подвода и отвода теплоты.

Тепло к газу подводится в процессе 4–1. Запишем первое начало термодинамики для этого процесса:

Q_пол = Q₄₁ = ΔU₄₁ + A₄₁.

Поскольку процесс изохорный, то работа газа в этом процессе A₄₁ = 0. Изменение внутренней энергии одноатомного газа ΔU₄₁ = (3/2)νR(T₁ – T₄).

Заменяя температуру из уравнений состояния идеального газа

4p₀V₁ = νRT₁,

2p₀V₁ = νRT₄,

получаем

ΔU₄₁ = (3/2)(4p₀V₁ – 2p₀V₁) = 3p₀V₁.

Следовательно, Q_пол = ΔU₄₁ = 3p₀V₁.

Отводится тепло в процессе 2–3, который является также изохорным (A₂₃ = 0). Аналогично получаем

Q_отд = Q₂₃ = ΔU₂₃ = (3/2)νR(T₃ – T₂) = (3/2)(p₀V₂ – 2p₀V₂) = –(3/2)p₀V₂.

Подставляя выражения для Q_пол и Q_отд в формулу КПД цикла и учитывая, что V₂ = 1,52V₁, находим

η = ?

Дано:

R = 10^–5 м,

Е = 100 В/м,

ρ = 1000 кг/м³,

|е| = 1,6 · 10^–19 Кл.

Решение

На каплю действует сила тяжести mg, направленная вертикально вниз. Чтобы капля находилась в равновесии, сила электростатического поля (F = qE, где q – заряд капли) должна быть направлена вертикально вверх.

Это может быть только в том случае, если заряд капли отрицателен.

Условие равновесия капли: mg = F или mg = |q|E. Массу капли можно выразить через её плотность и объём: m = ρV.

Считая, что капля имеет вид шара радиусом R, запишем:

V = (4/3)πR³ и m = (4/3)πρR³.

Подставив массу в условие равновесия капли, находим величину заряда капли

и число избыточных электронов на ней

N = ?

Дано:

I₁ = 2 А,

N₁ = 10 Вт,

I₂ = 4 А,

N₂ = 16 Вт.

Решение

Рассмотрим цепь, состоящую из источника тока и внешнего сопротивления. Найдём, при каком значении внешнего сопротивления полезная мощность, выделяющаяся в цепи, максимальна.

Согласно закону Джоуля-Ленца, полезная мощность в цепи

N = I²R. (1)

Выражая ток из закона Ома для полной цепи

получаем

Здесь r – внутреннее сопротивление источника тока.

Проанализируем полученное выражение на экстремум, взяв первую производную (по переменному сопротивлению R) и приравняв её к нулю:

Отсюда получаем, что мощность максимальна при условии R = r. Следовательно, максимальная полезная мощность в цепи определяется выражением

Таким образом, для расчёта N_max необходимо из условий задачи определить ЭДС и внутреннее сопротивление источника тока.

Применим закон Джоуля–Ленца (1) к первому случаю и запишем N₁ = I₁²R₁. Сопротивление цепи R₁ выражаем из закона Ома (2): Подставляя, получаем

N₁ = I₁ – I₁² r. (4)

Аналогично можно записать и для второго случая:

N₂ = I₂ – I₂² r. (5)

Мы получили систему уравнений (4), (5) с двумя неизвестными и r. Решая эту систему, находим:

Подставляя и r в формулу (3), находим окончательный ответ задачи:

N_max = ?

Дано:

C = 10^–8 Ф,

L = 10^–6 Гн,

U = 1 В,

I = 0,1 А.

Решение

В начальный момент времени полная энергия в контуре складывается из энергии электрического поля конденсатора

и энергии магнитного поля катушки индуктивности

При полном затухании колебаний вся имеющаяся в начальный момент энергия выделится на сопротивлении в виде тепла:

Q = ?