Задачи, тесты

Три задачи о воде

См. также № 2, 3/2010

Наблюдая за струёй...

Заметил однажды на кухне, что диаметр вытекающей из крана струи воды уменьшается сверху вниз. Этот эффект проявляется сильнее и лучше всего наблюдается, когда напор воды средний, ибо при сильном течении сужение струи незначительно. А при слишком слабом струя прерывиста, и нечётко фиксируются её начальный и более низкий диаметры.

Измерить миллиметровой линейкой диаметр струи у носика крана d₀ и её диаметр d на расстоянии h ниже не представляет труда. Интересно узнать, с какой скоростью υ₀ вытекает вода из крана. А это непосредственно не измерить, значит, будем вычислять.

Изобразим на рисунке два сечения струи. Пусть скорость воды в нижнем сечении равна υ. По уравнению неразрывности струи имеем: S₀υ₀ = Sυ, где и – площади соответствующих сечений. Тогда получим

d₀²υ₀ = d²υ. (1)

Добавим к уравнению (1) очевидное кинематическое соотношение:

υ² - υ₀² = 2gh. (2)

Уравнения (1) и (2) образуют легко решаемую систему уравнений с двумя переменными υ₀ и υ:

Отсюда находим скорость из первого уравнения и подставляем это значение во второе уравнение. В итоге находим:

При реальных значениях d₀ = 15 мм, d = 6 мм, h = 210 мм формула (3) даёт υ₀ = 0,33 м/с.

Предположим, что мы забыли закрыть кран. Поставим вопрос: какая масса воды m утечёт за время t? Очевидно, что вылившийся объём V = S₀υ₀t, тогда m = ρS₀υ₀t, где ρ = 10³ кг/м³ – плотность воды.

Подставляя сюда величины S₀ и υ₀, имеем:

Пусть вода текла один час (t = 3600 с). Тогда из формулы (4) следует, что m = 209 кг. Велика цена забывчивости, особенно если вода оплачивается по счётчику!

Проверим экспериментально формулу (4). При рассматриваемом напоре воды пятилитровый чайник наполняется за 80 с. Значит, за час вытечет Учитывая не слишком большую точность измерений, соотношение теории с опытом вполне приемлемо.

 

Удар водомёта

«Московский комсомолец» 26 октября 2007 г. поместил репортаж Дарьи Федотовой с базы ОМОНа, содержащий физически интересный материал. В статье, в частности, описывается водомёт, приводятся его технические данные. Машина, вмещающая m = 6 т воды, может поливать без перерыва t = 5 мин. Струя бьёт на расстояние l = 60 м. Водитель водомёта рассказывает: «А водой мы имеем право бить только по ногам, чтобы не покалечить. Человека сбивает, как муравья». Оценим силу удара струи водомёта. Точный же расчёт мешают сделать принципиально не учитываемые факторы: изменение сечения струи в полёте, её разбрызгивание, сопротивление воздуха, угол, под которым струя ударяет в человека.

Физическая интуиция подсказывает, что искомая сила F зависит от плотности воды ρ, её скорости υ, которую считаем в первом приближении постоянной и равной начальной, и площади сечения струи S. Такого рода зависимости носят степенной характер:

Вместо знака равенства в формуле (5) ставим знак пропорциональности, ибо наш расчёт оценочный. Определить показатели степеней x₁, x₂, x₃ помогут соображения размерностей. Так как обе части в формуле (1) выражаются в ньютонах, то имеем равенство:

откуда следует:

Равенство (6) возможно лишь в том случае, когда показатели степеней при килограммах, показатели при метрах, показатели при секундах в обеих его частях совпадают, т. е. справедлива система уравнений:

Очевидно: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 1. Следовательно,

F ~ ρ · υ² · S. (7)

В формуле (7) нам пока известна только одна плотность воды ρ = 10³ кг/м³. Для определения υ и S напишем уравнение неразрывности струи m = ρSυt. Кроме того, учтём известный из школьного учебника факт: наибольшая дальность полёта тела, брошенного под углом к горизонту, есть Из последнего уравнения получаем и тогда:

Вычисление по формуле (8) даёт: F ~ 485 Н. Полученное значение в человеческом измерении весьма велико. Ведь даже стокилограммовому мужчине эта сила сообщает ускорение a ~ 4,85 м/с² ≈ 0,5g.

Удар водяной струи эквивалентен статическому действию трёхпудового груза. Стоит ли удивляться, что вода сбивает человека с ног? Значит, проведённый оценочный расчёт физически верен. Да, водомёт не поливальная машина, которая может только обрызгать. Под его мощную струю лучше не попадать!

 

Капля долбит камень

В справедливости приведённой пословицы можно убедиться, рассматривая лежащий у стены дома камень, на который долгое время в одно и то же место капает стекающая с крыши дождевая вода. В месте удара хорошо заметно углубление. Теоретически объяснить это интересное явление можно уже десятикласснику. Понятно, что процесс удара капли о твёрдое тело весьма сложен, поэтому приведём оценочный расчёт, дающий только порядок искомой величины. А именно, оценим, во сколько раз сила удара превосходит вес капли.

Рассмотрим задачу: «Шар массой m = 3 кг удерживается на высоте h = 3 м над столиком, укреплённым на пружине. Найдите максимальное сжатие l пружины при свободном падении шарика на столик, если её жёсткость k = 700 Н/м. Массами пружины и столика пренебречь».

Из квадратного уравнения выразим и максимальную силу упругости пружины

Тогда

В решённой задаче шар по сравнению с пружиной с большой точностью является абсолютно твёрдым телом. А камень – абсолютно твёрдое тело по сравнению с каплей. Но что на что падает, безразлично, главное, что два тела взаимодействуют. Существенно разрушение капли при ударе. Представим мысленно каплю в виде своеобразной «пружины». Ведь при её деформации силы поверхностного натяжения стремятся восстановить сферическую форму капли. Хоть силы упругости и поверхностного натяжения различны, при оценочных расчётах такое допускается. Логично принять жёсткость капли равной её коэффициенту поверхностного натяжения k = σ = 0,073 Н/м, т. к. эти две величины выражаются в одинаковых единицах H/м (соответственно имеют одинаковую размерность).

Знак равенства в последней формуле заменяем на знак пропорциональности, и оценочный результат готов: Взяв типичную каплю радиусом 2 мм, падающую с высоты одноэтажного дома h = 3 м, получим F / mg ~ 27.

Продолжение следует