Задачи, тесты

Две летние задачи

См. также № 2, 3, 4/2010

1. Пепси со льдом

В летнюю жару многие охлаждают воду и другие напитки кубиками льда, приготовленными в морозильной камере холодильника. В связи с этим даём учащимся взятую прямо из жизни задачу:

• Сколько кубиков льда, взятых при t₁ = –10 °С, надо бросить в сосуд, содержащий 1 л воды (масса m = 1 кг), сока или иного напитка, чтобы снизить его температуру с t₂ = 25 °С до t₃ = 10 °С ?

Учащиеся измеряют габариты ячейки ванночки для льда 23 мм × 31 мм × 19 мм (объём 13,5 см³ и соответствующая масса льда m₁ = 13,5·10^-3 кг).

Отметим, что вода в ячейке, замерзая, вспучивается, т. к. плотность льда меньше плотности воды. Необходимые табличные данные: • удельная теплота плавления льда λ = 3,3 ·10⁵ Дж/кг • удельная теплоёмкость льда c₁ = 2,1·10³ Дж/(кг · °С) • удельная теплоёмкость воды c₂ = 4,2·10³ Дж/(кг · °С).

Ясно, что добавление в воду добавок для приготовления напитка очень мало влияет на удельную теплоёмкость.

Составляем уравнение теплового баланса:

c₂m(t₂ – t₃) = c₁nm₁|t₁| + λnm₁ + c₂nm₁t₃,

где n – искомое число кубиков. Отсюда:

Числовой результат: n = 12.

 

2. «Инерция» термометра

Лето. Утреннее солнце глянуло в оконце – столбик уличного термометра, показывавшего 15 °С (T₁ = 288 К), довольно быстро пополз вверх, но выше 30 °С (T₂ = 303 К) подняться не смог. Новое показание термометра установилось не сразу: столбик подкрашенного спирта обладает определённой «инерцией». Время подъёма столбика легко измеряется: t = 4 мин. Но так часто приходится наблюдать это явление, что хочется рассчитать эту величину теоретически. Тем более что физически интересно сравнить вычисленный результат с экспериментальным.

Расчёт, естественно, реален только оценочный, т. е. по порядку искомой величины. Лучи света падают на внешнее стекло термометра, прогревают воздух внутри него, этот воздух в свою очередь греет цилиндрик и резервуар со спиртом внизу. Считаем, что половина тепла достанется спирту, которая в свою очередь поделится поровну между спиртом в столбике и спиртом в резервуаре. Следовательно, на столбик спирта высотой h = 10 см и диаметром d = 1 мм придётся четверть солнечного тепла.

Пусть стоит безветренная погода, когда тепло переносится только излучением и теплопроводностью, а конвекция отсутствует. Тогда очевидно оценочное энергетическое соотношение:

Здесь σ = 5,67·10^-8 Вт/(м² · К⁴) – постоянная Стефана–Больцмана, α = 5,6 Вт/(м² · К) – коэффициент теплоотдачи на границе воздух–гладкая поверхность, S = πdh – площадь поверхности столбика спирта, – его масса; ρ = 0,79·10³ кг/м³ – плотность, а c = 2,39·10³ Дж/(кг · К) – удельная теплоёмкость спирта соответственно.

Искомый результат легко получается:

или в числовом виде: t ~ 2,75 мин, что неплохо согласуется с опытом. Заметим, что величина h в расчётную формулу не вошла.

Осталось отметить, что увеличение потенциальной энергии столбика спирта при подъёме в поле силы тяжести столь незначительно, что не стоит загромождать учётом этого фактора формулы.

Хотите – верьте, хотите – проверьте...