Задачи, тесты

Три «солнечные» задачи

См. также № 2/2010

1. Как жарко в центре Солнца?

В школьном учебнике астрономии приводится величина T = 1,5 · 10⁷ К. Целесообразно её рассчитать. Чтобы избежать сложных вычислений, оценим порядок искомой температуры.

Звезда находится в равновесии, давление газа равно гравитационному давлению

Последнее оцениваем делением условной силы mg на площадь большого солнечного круга πr². Здесь m, r, g – масса, радиус, ускорение свободного падения на поверхности Солнца соответственно, M – молярная масса солнечного вещества.

Равенство p = p_г с учётом формул легко преобразуется к следующему результату:

Так как солнечный шар имеет одну геометрически выделенную точку – центр, – то найден порядок температуры именно в нём. Коэффициент 4/3 можно и опустить, и оставить, это качественно ничего не меняет.

Считаем в первом приближении Солнце чисто водородной звездой. Поскольку водород ионизован, а числа протонов и электронов приближённо совпадают, то, пренебрегая массой электрона, имеем: M = 0,5m_pN_А = 0,5 · 10^–3 кг/моль, где m_p – масса протона.

Проведя числовой расчёт по формуле (1), получаем T ~ 1,53 · 10⁷ К. Столь точное совпадение, конечно, случайно.

 

2. Оптика колбы

Стеклянные колбы широко применяются в лабораторных работах по химии и термодинамике. Интересно использовать колбу и как оптический прибор. Попробуем «поймать» в фокус солнечные лучи пустой колбой. Ничего не получится – она действует как рассеивающая линза. Затем наполним колбу водой – она уже работает как собирающая линза.

Физически поучительно теоретическое объяснение результатов этих опытов. Колба, с которой экспериментировал автор, представляла собой сферу с внешним радиусом R = 50 мм. Толщина её стенок h = 1 мм. Примем показатель преломления стекла n_с = 1,5.

Пустая колба представляет собой оптическую систему, состоящую из двух тонких линз, разделённых расстоянием 2R. Оптическая сила D₁ одной из них, очевидно, равна:

Так как h ≪ R, то правомерно считать, что

Модуль фокусного расстояния одной линзы

Легко видеть, что |F₁| ≫ 2R. Поэтому, в первом приближении, можно суммировать оптические силы двух линз, как будто они расположены вплотную. Тогда оптическая сила D_к колбы – системы линз равна:

Теперь понятно, почему пустая колба рассеивает световые лучи: D_к < 0.

Вычислим оптическую силу D_ш водяного шара радиусом R (на самом деле радиусом R – h, но h ≪ R).

Рассмотрим луч, идущий вблизи одной из главных оптических осей шара параллельно ей. Место пересечения вышедшего из шара луча и оси – точка C – и есть фокус шара. По закону преломления света, в точках A и B имеем соответственно:

sin α = n_в sin β, n_в sin β = sin γ,

где n_в = 4/3 – показатель преломления воды. Отсюда получаем γ = α. Применим к треугольнику OBC теорему синусов:

откуда получим фокусное расстояние шара

Параксиальность лучей гарантирует нам, что углы α и β будут малыми, т. е. значительно меньше 1 рад. Так как синус малого (в радианной мере) угла можно (и нужно) заменить самим углом, то окончательно имеем:

Факт отсутствия здесь величины β говорит о том, что все параксиальные лучи собираются в одной точке C, т. е. мы нашли действительно фокус, и

Наполненная водой колба является весьма непростой для расчёта оптической системой, последовательно состоящей из тонкой рассеивающей линзы, толстой собирающей линзы (шара) и второй тонкой рассеивающей линзы. Однако громоздких выкладок можно и нужно избежать.

Из формул (1) и (2) найдём отношение модуля оптической силы колбы и оптической силы шара:

Для конкретной колбы числовой расчёт по формуле (3) дал:

Стоит ли удивляться, что оптически «положительный» водяной шар доминирует над оптически «отрицательной» стеклянной оболочкой, в которой он заключён? Физически естественно, что наполненная водой колба фокусирует солнечные лучи, действуя как собирающая линза.

 

3. Bar magnifier

В отделе оптики одного рязанского торгового дома автор увидел небольшую продолговатую картонную коробочку с надписью «Bar magnifier». Поинтересовался, что это. Оказалось – стеклянный полуцилиндр диаметром 24 мм и высотой 150 мм. Он служит для увеличения размера букв в печатном издании. Купил, благо недорого, для проведения эксперимента.

Любопытно, а что означает название товара – простейшего оптического прибора? Пришлось воспользоваться англо-русским словарём: стержневой увеличитель. Пользоваться им предписано так: передвигать по бумаге сверху вниз листа, при этом читаемая строчка должна быть на оси цилиндра, половиной которой является оптическая линейка.

Обнаружилось, что двухмиллиметровая буква становится трёхмиллиметровой, т. е. увеличение 1,5. Поскольку 1,5 – типичный показатель преломления стекла, то эксперимент рождает гипотезу: увеличение линейки равно показателю преломления стекла.

Осталось теоретически подтвердить или опровергнуть выдвинутую гипотезу. На рисунке изображено сечение линейки плоскостью, перпендикулярной как плоской поверхности полуцилиндра, так и его оси. Рассмотрим соответствующий ход лучей. Один из них идёт в наши глаза от нижней точки буквы, другой – от верхней точки буквы. Середина буквы находится на оси. Высоты обеих букв (h – реальная, H – увеличенная) значительно меньше радиуса полуцилиндра R, поэтому углы α и β можно считать малыми. Увеличение:

Учтём, что синус малого (по сравнению с одним радианом) угла можно отождествить с его радианной мерой:

По закону преломления света на цилиндрической поверхности, Следовательно, Γ = n, т. е. наша гипотеза подтвердилась.

В заключение сделаем числовой расчёт. По результатам нашего опыта,

Тогда α = 0,125 329 рад ≈  7,18°. Точность приближённого равенства sin α ≈ α составляет 0,26%. А точность равенства sin β ≈ β ещё выше. При этом β = 4,78°.

С целью лучшего восприятия рисунка углы α и β на нём увеличены.

Продолжение следует