Абитуриенту

МГУ-2008: Дистанционная олимпиада «Шаг в физику»

Окончание. См. № 4, 7/09

11 класс

1 Полусферический тонкостенный «колокол» с небольшим отверстием в верхней части плотно (без зазора) лежит на горизонтальном столе. Через отверстие в колокол медленно наливают воду. Когда вода доходит до отверстия, она приподнимает колокол и начинает вытекать из-под него снизу. Найдите массу колокола m, если его радиус R = 10 см. Плотность воды ρ = 10³ кг/м³.

Решение

Сила гидростатического давления воды на стол равна F = πR²ρgh , где h – высота уровня воды в колоколе. В момент начала подтекания воды из-под колокола h = R , следовательно, F = πR³ρg. С другой стороны, суммарный вес колокола и воды составляет величину Поскольку вода, подтекающая под колокол, приподнимает его, колокол непосредственно на стол не давит. Следовательно, F′= F.

Ответ. m = 1/3 πR³ρ ≈1 кг.

 

2 Маленькая шайба находится на горизонтальной поверхности стола, состоящей из двух панелей – гладкой и шероховатой. Коэффициент трения между шайбой и шероховатой панелью возрастает по мере удаления от стыка панелей по линейному закону μ(x) = αx, где α = const, а координатная ось X направлена перпендикулярно стыку панелей. Шайба скользит по гладкой панели параллельно оси X и в некоторый момент времени попадает на шероховатую панель. Какое расстояние x₀ пройдёт по шероховатой панели шайба до остановки, если её скорость на гладкой панели равна υ₀? Ускорение свободного падения g.

Решение

Уравнение движения шайбы, начиная с момента, когда она попадает на шероховатую поверхность, и до момента остановки имеет вид: или Решение этого уравнения: где x₀ – перемещение шайбы до полной остановки. Скорость шайбы меняется во времени по закону Отсюда находим, что начальная скорость шайбы υ₀ связана с x₀ соотношением

Ответ.

 

3 Катер приближается к пристани со скоростью υ = 72 км/ч. Стоит безветренная погода. На пристани играет оркестр. На сколько полутонов n должны изменить своё исполнение музыканты оркестра для того, чтобы пассажиры катера слышали мелодию в неискажённой тональности? Скорость звука в воздухе примите равной с = 340 м/с.

Указание. Один полутон соответствует изменению частоты звучания в k = ≈ 1,06 раза.

Решение

Пусть оркестр исполняет чистый музыкальный тон на частоте ν. Уравнение звуковой волны, распространяющейся навстречу катеру в неподвижном воздухе, имеет вид:

где p – избыточное давление в волне, p₀ – амплитуда колебаний давления, x – координата некоторой точки. В системе отсчёта, связанной с катером, координата той же точки равна где L₀ – расстояние между катером и пристанью в момент времени t = 0. Выражая отсюда x и подставляя его в исходное уравнение волны, получаем уравнение волны в системе отсчёта, связанной с катером:

На палубе катера x′ = 0. Отсюда находим, что пассажиры катера воспринимают звуковое давление, описываемое выражением p = p₀cos(2πν′t + φ₀), где

Следовательно, чтобы пассажиры слышали правильный тон, оркестр должен исполнять его на частоте, которая ниже исходной в m = ν′/ ν = 1+ υ/c раз.

Ответ. Оркестр должен играть на n = 12log₂ (1+ υ/c) ≈ 1 полутон ниже.

4 Дождевая капля радиусом R падает с высоты h. При падении капля пролетает через заряженное облако и приобретает потенциал φ₀. Под действием сил кулоновского отталкивания капля разделяется на две одинаковые части, относительные скорости которых направлены горизонтально. Какую максимальную скорость может приобрести каждая из капелек в момент достижения поверхности Земли? Сопротивлением воздуха и электростатическим взаимодействием капелек с поверхностью Земли и с заряженным облаком, а также поверхностным натяжением воды можно пренебречь. Плотность воды ρ. Электрическая постоянная ε₀, ускорение свободного падения g.

Решение

Движение капелек в вертикальном и горизонтальном направлениях происходит независимо. Поэтому величина вертикальной составляющей их скорости в момент падения на землю равна и не зависит от момента разделения капли на части. Движение в горизонтальном направлении совершается под действием сил кулоновского отталкивания. Заряд капли и её начальная электростатическая энергия равны:

q₁ = C₁φ₀; W₁ = C₁φ₀²/2

где C₁ = 4πε₀R – ёмкость капли. После разделения капли на части радиус каждой из образовавшихся капелек, её ёмкость и заряд на ней будут равны соответственно:

Электростатическая энергия двух капель, находящихся на большом расстоянии друг от друга, равна

Разность между начальной и конечной электростатическими энергиями

перейдёт в кинетическую энергию относительного движения капелек

если разделение капли происходит достаточно далеко от поверхности Земли. Поэтому максимально возможная скорость капелек

 

5 Водитель видит приближающийся сзади автомобиль в панорамное (выпуклое) зеркало заднего вида. Во сколько раз m отличается угловой размер изображения автомобиля от углового размера самого автомобиля, если фокусное расстояние зеркала f = 1 м, а расстояние от глаз водителя до зеркала s = 0,5 м? Считайте, что это расстояние значительно меньше расстояния l от зеркала до приближающегося сзади автомобиля.

Решение

Построение изображения A₁ автомобиля A в сферическом зеркале показано на рисунке. Изображение является мнимым, прямым, уменьшенным. Из рисунка видно, что угловые размеры автомобиля и его изображения равны соответственно: где l – расстояние от автомобиля до зеркала, l₁ – расстояние от зеркала до изображения автомобиля. Из подобия треугольников следуют равенства: Отсюда Искомое отношение угловых размеров равно

Учитывая, что, по условию, l s, получаем приближённо

Продолжение следует