Абитуриенту

МГУ-2008: Дистанционная олимпиада «Шаг в физику»

В декабре 2008 г. физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова впервые проводил дистанционную олимпиаду по физике для школьников «Шаг в физику». Официальным информационно-технологическим партнёром олимпиады являлась компания Google Inc. Для участия в олимпиаде школьнику достаточно было иметь в своём распоряжении компьютер, подключённый к сети интернет. После регистрации на сайте олимпиады http://olimpiada.msu.ru участник получал закреплённый за ним навсегда адрес электронной почты, с помощью которого мог связываться с организаторами олимпиады. Задания олимпиады предназначались для учащихся 9-х, 10-х и

11-х классов средних школ и средних профессиональных учебных заведений. В воскресенье 14 декабря 2008 г. все зарегистрированные участники получили доступ к заданиям олимпиады, которые они должны были выполнить в тот же день в течение 6 ч. Для дистанционного представления ответов и решений допускались различные формы: текстовый файл, документ MSWord, а также отсканированные или сфотографированные с высоким разрешением рукописные страницы. Олимпиада вызвала большой интерес у школьников. В ней приняли участие свыше 1500 учащихся из 80 субъектов Российской Федерации, а также из Украины, Беларуси и Казахстана. Все победители олимпиады награждены почётными дипломами, а победители одиннадцатиклассники получили, кроме того, приглашения на второй тур Московской региональной олимпиады по физике.

Дистанционная олимпиада для школьников «Шаг в физику» будет отныне проводиться ежегодно. Подробную информацию о ней можно будет найти на сайте физического факультета МГУ http://www.phys.msu.ru, а также на официальном сайте олимпиады http://olimpiada.msu.ru. Ниже приводятся условия и подробные решения заданий.

9-й класс

1 Материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, за время τ = 3 с переместилась на расстояние l = 4 м, пройдя при этом путь, равный s = πl/3 ≈ 4,19 м. Найдите ускорение a материальной точки.

Решение

Пусть R – радиус окружности, по которой движется материальная точка, а φ – угол, на который за время τ поворачивается линия, соединяющая точку с центром окружности. Из рисунка видно, что модуль перемещения точки за время τ равен а пройденный ею за это время путь s = Rφ. Из этих соотношений получаем уравнение для угла φ: или, с учётом условия,

Непосредственной подстановкой убеждаемся в том, что решение этого уравнения: φ = π/3. Следовательно, радиус окружности, по которой движется точка, R = l. Учитывая, что модуль скорости точки υ = s/τ, получаем ответ:

2 Гепард, заметив антилопу, убегающую от него со скоростью υ_а = 20 м/с, начинает её преследовать. Разгоняясь равноускоренно, он за τ₁ = 4 с развивает скорость υ_г = 30 м/с, с которой бежит в течение τ₂ = 10 с. Затем, почувствовав перегрев своего тела, гепард прекращает преследование, останавливаясь с тем же по модулю ускорением, что и при разгоне. На каком максимальном расстоянии s_max должны находиться друг от друга в начальный момент эти животные, чтобы гепард смог полакомиться свежепойманной антилопой?

Замечание. Вследствие отсутствия потовых желёз на теле и плохого отвода теплоты через шкуру гепард не может развивать максимальную скорость (примерно 110 км/ч ) в течение длительного времени без опасного для его организма перегрева.

Решение

Поместим начало системы координат в точку старта гепарда, а координатную ось X направим вдоль прямой, по которой движутся животные. На рисунках изображены графики зависимости координат (рис. а) и скоростей (рис. б) гепарда и антилопы от времени. Из рис. а видно, что гепард догонит антилопу, если расстояние между животными в момент начала погони не превышает s_max. В свою очередь, s_max находится из условия, что в тот момент, когда гепард догоняет антилопу, одновременно с равенством координат животных достигается и равенство их скоростей (если в этот момент гепард не схватил антилопу, то в последующем он будет от неё отставать).

Из рис. б видно, что время T движения животных до момента, когда их скорости сравняются, равно T = τ₁ + τ₂ + (τ₁ – τ). При этом входящий в это выражение промежуток времени τ может быть найден из отношения:которое следует из подобия треугольников на графиках υ = υ(t). Отсюда

Пути, пройденные гепардом и антилопой за время T, равны:

s_г = υ_г (τ₁ + τ₂) – 1/2υ_aτ; s_a = υ_a (2τ₁ + τ₂ – τ).

Начальное расстояние между гепардом и антилопой равно разности их путей: s_max = s_г – s_a.

Ответ.

3 Мальчик решил переплыть реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. На какое минимальное расстояние s снесёт течением мальчика, если ширина реки L = 10 м, а скорость мальчика относительно воды в k = 2 раза меньше скорости течения?

Решение

Переплывая реку, мальчик движется по прямолинейной траектории AB (см. рисунок). Из рисунка видно, что смещение s мальчика вниз по течению минимально, когда прямая AB образует со скоростью течения максимально возможный угол. Обозначив через V скорость течения, а через u и υ – относительную и абсолютную скорости мальчика, по закону сложения скоростей, имеем υ = V + u. При этом угол a максимален, если uυ. Следовательно, треугольник, составленный из векторов скоростей, является прямоугольным, и sinα = u/V = 1/k. Искомое смещение s = Lctgα. Используя формулу

получаем ответ:

4 Состав из нескольких вагонов катится по гладкому горизонтальному пути со скоростью υ₀ = 22 м/с. На пути состава встречается горка высотой H = 45 м с длиной основания L = 200 м. При каком числе вагонов N состав преодолеет горку и скатится с противоположной стороны? Длина одного вагона l = 20 м. Силами сопротивления и длиной сцепки между вагонами можно пренебречь. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с².

Решение

Состав преодолеет горку, если выполнено условие где m – масса поезда, h – высота центра тяжести поезда, достигаемая в момент, когда середина состава находится на вершине горки. Пренебрегая высотой вагона по сравнению с H и длиной вагона по сравнению с L, получаем, что (см. рисунок) H – h = Nl sinα/4. При этом tgα = 2H/L. Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

5 Зеркальная дверь AO может вращаться вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку O. Мальчик М и девочка Д стоят перед дверью как показано на рисунке, причём ∠AOM = α = 30°, а ∠AОД = β = 60°. На какой угол φ в направлении, указанном стрелкой, нужно повернуть дверь, чтобы мальчик перестал видеть в ней изображение девочки?

Решение

Построение изображения Д₁ девочки Д в повёрнутом зеркале представлено на рисунке. Видно, что предельный угол поворота зеркала, при котором мальчик ещё видит изображение девочки, соответствует случаю, когда точки M, O и Д₁ лежат на одной прямой. Используя обозначения для углов, приведённые на рисунке, имеем следующие равенства: φ + β + γ = π; β – α = 2δ; 2γ + 2δ = π. Из этих равенств находим, что

Ответ.

Продолжение следует