Абитуриенту

МГУ-2008: Вступительные испытания по физике на физический факультет

Окончание. См. № 4, 7, 09/09

IV. Оптика

1 На тонкую линзу, находящуюся в воздухе внутри отрезка трубы Т, показанного на рисунке, падает параллельный пучок света, расстояние между крайними лучами 1 и 2 которого равно 2h. Определите оптическую силу линзы, если луч 3 – это преломлённый в линзе луч 1, а луч 4 – луч 2. Угол между лучами 3 и 4 равен 2α.

Решение

Поскольку, по условию задачи, линза, находящаяся в трубе, является тонкой, а луч 3 – это преломлённый в линзе луч 1, точка пересечения продолжения этих лучей – точка С на рисунке – должна принадлежать главной плоскости линзы. Аналогично точка D пересечения продолжений лучей 2 и 4 – вторая точка, принадлежащая главной плоскости линзы. Лучи 1 и 2 параллельны оси трубы, а лучи 3 и 4 образуют с этой осью одинаковые углы. Поэтому главная плоскость линзы (плоскость СD) – перпендикулярна оси трубы. Продолжения лучей 3 и 4 пересекаются в точке F. Следовательно, стоящая в трубе линза является рассеивающей, а точка F является главным фокусом линзы. Поскольку треугольник OCF является прямоугольным, то FO = |F| = h ctgα. Так как, по определению, оптическая сила линзы D = F^–1, то искомая оптическая сила D = –h^–1tgα.

 

2 Плоскопараллельная стеклянная пластинка, находящаяся в воздухе, составлена из двух одинаковых клиньев с малыми углами a и показателями преломления n. На длинную сторону пластинки, как показано на рисунке, перпендикулярно ей падает световой луч 1. Один из клиньев сдвигают в плоскости рисунка параллельно длинной стороне пластинки на расстояние L так, что световой луч по-прежнему проходит через оба клина. На какое расстояние s сместится при этом луч, выходящий из второго клина?

Решение

По закону преломления, луч 1 при выходе из первого клина отклоняется от первоначального направления на такой угол θ, что n sinα = sin(α + θ). Так как клинья одинаковые, то после преломления во втором клине луч пойдёт параллельно своему первоначальному направлению. Из рисунка видно, что s = (h + s tgα)tg θ, где h = Ltgα. Поскольку, по условию задачи, угол a мал, а показатель преломления различных стёкол не превышает трёх, то мал и угол θ. Поэтому все синусы и тангенсы углов α и θ можно считать приближённо равными их аргументам, измеренным в радианах. Поэтому nα ≈ α + θ, т.е. θ ≈ (n – 1)α, а s ≈ (L + s)αθ. Следовательно,

3 На экран Э₁ с двумя узкими щелями, находящимися на расстоянии d друг от друга, нормально падает параллельный пучок света длиной волны λ, причём λ ≪ d. За этим экраном находится собирающая линза Л, а за ней в её фокальной плоскости сплошной экран Э₂, на котором видны светлые и тёмные полосы. Плоскости экранов параллельны. Фокусное расстояние линзы равно F. Найдите расстояние Δx между соседними светлыми полосами вблизи оси симметрии интерференционной картины.

Решение

При решении задачи будем, как это обычно и делается при решении подобных задач, если в условии задаче специально не оговорено иное, считать, что освещающий экран Э₁ световой пучок является когерентным. По условию задачи, на экран Э₁ с двумя щелями нормально падает параллельный пучок света. Следовательно, волновой фронт падающего пучка – геометрическое место точек, колебания в которых происходят в одинаковой фазе, совпадает с поверхностью этого экрана. Учитывая, что щели в экране являются узкими, в соответствии с принципом Гюйгенса–Френеля их можно рассматривать как две светящиеся нити, излучающие когерентные цилиндрические волны с одинаковой фазой. На рисунке показан ход таких двух параллельных лучей (1 и 2) этих волн, которые после преломления в линзе попадают в точку с координатой х₁ на экране Э₂, в которой наблюдается интерференционный максимум первого порядка. При построении хода этих лучей мы воспользовались тем обстоятельством, что параллельный пучок лучей после преломления в собирающей линзе сходится в той точке её фокальной плоскости, где эту плоскость пересекает побочная оптическая ось линзы, параллельная падающему пучку. На рисунке эта побочная ось изображена пунктирной линией. Поскольку линза обладает свойством таутохронизма, то разность хода между этими лучами равна λ.

Из рисунка видно, что разность хода между лучами 1 и 2, равная длине отрезка АВ, равна d sinφ. Поскольку в точке х₁ наблюдается интерференционный максимум первого порядка, то d sinφ = λ. По условию задачи, λ ≪ d.. Следовательно, можно считать, что φ ≈ λ/d. Докажите самостоятельно, что интерференционный максимум нулевого порядка будет наблюдаться на экране Э₂ в точке с координатой х₀ (главном фокусе линзы), а расстояние между максимумами n-го и (n + 1)-го порядков при достаточно малом n будет практически равно расстоянию между максимумами нулевого и первого порядков. Учитывая сказанное, получаем, что искомое расстояние между соседними светлыми полосами вблизи оси симметрии интерференционной картины Δx = х_n-1 - х_n = F tgφ ≈ Fλ/d.