Абитуриенту

МЭИ (ТУ)-2008: Вступительные испытания по физике

Продолжение. См. № 4/09

Задача 8

Два тела массой m каждое, связанные нитью длиной l, движутся с одинаковыми скоростями, равными υ₀, в направлении, перпендикулярном нити, по горизонтальному гладкому столу. В некоторый момент времени середина нити попадает на вбитый в стол вертикальный гвоздь. Определите в этот момент силу натяжения Т нити.

Решение

Так как сила тяжести скомпенсирована нормальной составляющей силы реакции опоры, то

T = ma.

После контакта нити с гвоздём тела начинают двигаться по окружности. Тогда в проекции на ось Х:

T = ma_n.

По определению, a_n= υ²/R = 2υ²/l, и окончательно получим T = 2mυ₀²/l.

 

Задача 9

Тело массой m = 1 кг равномерно движется по окружности со скоростью υ = 2 м/с. Определите модуль вектора изменения импульса тела за четверть периода.

Решение

Вектор изменения импульса Δp = p₂ – p₁, или mΔυ = mυ₂ – mυ₁. Как видно из рисунка, с учётом |υ₁| = |υ₂| = υ; |Δp| = |mΔυ| = mυ; Δp ≈ 2,8 кг · м/с.

 

Задача 10

На шарик массой m₁, покоящийся на гладкой горизонтальной плоскости, налетает шарик массой m₂. После абсолютно упругого центрального удара шарики разлетаются с одинаковыми скоростями. Чему равно отношение масс шариков m₁/m₂?

Решение

Пусть υ – скорость второго шарика до удара, а u₁ и u₂ скорости соответственно первого и второго шариков после удара. Тогда, принимая направление движения второго шарика до удара за положительное, запишем закон сохранения импульса в виде: m₂υ = m₁u₁ – m₂u₂.

Так как, по условию задачи, u₁ = u₂ = u, то m₂υ = (m₁ – m₂)u. (1)

Условие абсолютно упругого удара:

Возведя в квадрат уравнение (1) и поделив на уравнение (2), получим m₁/m₂ = 3.

Задача 11

Шарик, брошенный с высоты Н вертикально вниз с начальной скоростью υ, погрузился в грунт на глубину h. Определите среднюю силу сопротивления грунта, если масса шарика m. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

По определению, изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Рассмотрим два момента времени: начало движения t₁ и остановку шарика – момент t₂.

 

Задача 12

Тело массой m, двигаясь горизонтально, въезжает на горку высотой h и массой М, которая находится на горизонтальной поверхности. Определите минимальную скорость тела, при которой оно преодолеет горку. Трение между телом и горкой, горкой и горизонтальной поверхностью отсутствует.

Решение

Так как на рассматриваемую в задаче систему тел внешние силы действуют по вертикали и суммарная работа всех непотенциальных сил равна нулю, то наряду с сохранением горизонтальной составляющей импульса сохраняется и механическая энергия. Рассмотрим два момента времени: когда тело подъезжает к горке и тело находится на вершине. Для преодоления горки достаточно, чтобы скорость тела относительно горки не её вершине была равна нулю.

Потенциальную энергию горки учитывать не будем, т.к. она не меняется в процессе взаимодействия с телом.

Решая систему уравнений, найдём

Задача 13

Невесомая пружина жёсткостью k и длиной l стоит вертикально на столе. С высоты Н над столом на неё падает небольшой груз массой m. Определите максимальную скорость груза при его движении вниз. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение

Для решения задачи применим закон сохранения механической энергии: W_м(t₁) = W_м(t₂), где t₁ – начальный момент времени, а максимальная скорость груза будет в момент времени t₂, когда сила его тяжести сравняется с силой упругости пружины:

kΔl = mg, где Δl – деформация пружины в этот момент. Тогда

Учитывая, что Δl = mg/k, окончательно получим

Задача 14

Однородная балка массой m лежит на платформе так, что её конец свешивается на 1/3 длины. Какую минимальную силу надо приложить к этому концу, чтобы противоположный конец балки начал подниматься?

Решение

По условию равновесия тела, ∑M_сил = 0.

Рассмотрим момент сил относительно угла платформы (точка О): mgl/6 – F_minl/3 = 0.

Отсюда F_min = mg/2.

 

Задача 15

Однородная стальная балка массой m одним концом закреплена на шарнире и удерживается в наклонном положении горизонтальным тросом, прикреплённым к другому концу балки. Угол наклона балки к горизонту α. Найдите силу, действующую на балку со стороны шарнира, и силу натяжения троса.

Решение

Запишем условия равновесия балки:

– сумма сил, действующих на балку, равна нулю:

R + mg + T = 0.

– сумма моментов сил относительно шарнира равна нулю:

mg(l/2) cosα – Tlsinα = 0,

где l – длина балки. Из последнего уравнения получим

T = mg(tgα)/2.

Для определения силы R спроецируем векторное уравнение на оси координат

X: R sinβ – T = 0;

Y: R cosβ – mg = 0.

Решая систему уравнений, с учётом выражения для силы Т, получим

Продолжение следует