Абитуриенту

МЭИ (ТУ)-2008: Вступительные испытания по физике

Представлены решения задач, предлагавшихся на олимпиадах по физике в Московском энергетическом институте (техническом университете). Олимпиада в 2008/09 уч. г. имеет высший уровень, позволяющий при успешном решении задач быть зачисленным на первый курс. Задачи охватывают практически все разделы физики, изучаемые в школе, и позволяют оценить уровень требований для поступления в МЭИ (ТУ). Заметим, что часть представленных решений задач приведена без поясняющих рисунков. При проработке задач необходимые для решения рисунки выполните самостоятельно.

Задача 1

Из городов А и B навстречу друг другу одновременно начали двигаться пешеход и бегун. Спустя время t₁ = 4 ч после встречи бегун прибыл в город А, а спустя t₂ = 9 ч после встречи пешеход прибыл в город B. Определите время t движения пешехода.

Решение

Так как путь, проделанный пешеходом до встречи и бегуном после встречи, одинаков и равен АС, получим AC = υ₂(t – t₂) = υ₁t₁. Аналогично из рассмотрения отрезка ВС следует BC = υ₁(t – t₂) = υ₂t₂. Здесь υ₁ – скорость бегуна, υ₂ – скорость пешехода, (t – t₂) – время движения бегуна и пешехода до встречи.

Решая полученную систему уравнений, найдём:

Задача 2

По наклонной плоскости пустили снизу вверх небольшой шарик. На расстоянии l = 0,3 м от начала пути шарик побывал дважды: через время t₁ = 1 c и через время t₂ = 2 c после начала движения. Определите начальную скорость υ₀ и ускорение а шарика.

Решение

Так как движение шарика вверх равнозамедленное, то в точке А он побывает дважды, двигаясь вверх и возвращаясь назад. Координата шарика в зависимости от времени:

Решая систему уравнений, получим:

υ₀ = l (t₁ + t₂)/(t₁t₂), υ₀ = 0,45 м/с;

а = 2l / (t₁t₂), а = 0,3 м/с².

Задача 3

Два тела бросили одновременно со скоростями υ₁ и υ₂ с поверхности Земли и c горки. Известно, что расстояние по горизонтали между точками бросания равно s. Тела в воздухе столкнулись. Определите высоту горки Н и высоту h точки столкновения.

Решение

Запишем закон движения для двух тел в проекции на ось Y:

Так как в момент встречи h = y₁ = y₂, получим H = υ₁t₁, где t₁ – время движения до встречи тел.

Из закона движения второго тела в проекции на ось X x₂ = υ₂t, в случае x₂ = s и t = t₁ получим: Отсюда и, приняв во внимание, что y₂ = h при t = t₁,

Задача 4

Определите наименьший радиус дуги для поворота автомашины, движущейся по горизонтальной дороге со скоростью υ = 36 км/ч, если коэффициент трения скольжения колёс о дорогу μ = 0,25.

Решение

Автомобиль движется по окружности радиусом R в данный момент перпендикулярно плоскости рисунка. Радиус поворота будет наименьшим в том случае, если сила трения, которая удерживает автомобиль от скольжения, будет близка к силе трения скольжения.

По второму закону Ньютона,

F_тр + N + mg = ma.

В проекции на оси X и Y имеем

X: F_тр = ma_n;

Y: N – mg = 0.

Решая полученную систему уравнений, с учётом

a_n = υ²/R и F_тр = μN получим R = υ²/μg; R ≈ 40 м.

Задача 5

На идеально гладком столе лежит клин массой М с углом при основании α. На нём расположен клин массой m с таким же углом. Система покоится. К маленькому клину прикладывают горизонтальную силу F. Определите максимальное значение этой силы, при котором клинья будут двигаться как единое целое. Коэффициент трения между поверхностями клиньев равен μ.

Решение

Согласно второму закону Ньютона, для тела массой mF + mg + F_тр + N₁ = ma.

В проекции на оси х и Y получим:

X: F – F_тр cosα – N₁sinα = ma; (1)

Y: N₁cosα – F_тр sinα – mg = 0. (2)

Запишем второй закон Ньютона для системы из двух клиньев. Помня о том, что внутренние силы скомпенсированы, получим

F + (M + m)g + N₂ = (M + m)a.

В проекции на ось X:

F = (M + m)a. (3)

Учитывая, что сила трения стремится к силе трения скольжения F_тр = μN₁, получим решение системы уравнений (1) и (3):

Задача 6

Молот массой m = 10 кг свободно падает из состояния покоя с высоты h = 1,25 м на наковальню. Определите среднюю силу удара, если его длительность Δt = 0,01 с. Удар считать абсолютно неупругим.

Решение

Рассмотрим интервал времени между началом и окончанием удара и запишем для этого интервала второй закон Ньютона

N + mg = ma.

Среднее значение силы удара F_ср по модулю равно среднему значению силы N, ускорение a_ср = (υ₂ – υ₁)/Δt, где υ₁ – скорость молота до удара, υ₂ – скорость молота после удара, Δt – время удара.

C учётом вышеизложенного получим запись второго закона Ньютона в проекциях на вертикальную ось:

Так как υ₂ = 0 ,а N = F_ср, окончательно получим

Задача 7

На клине с углом наклона α покоится брусок массой m, коэффициент трения бруска о клин равен μ (μ > tgα). Какой минимальной силой F₀, параллельной ребру клина АБ, можно сдвинуть этот брусок?

Решение

Выберем систему координат, в которой оси X и Y лежат в плоскости клина. Так как вектор силы трения лежит в плоскости клина (X, Y), то квадрат его модуля равен сумме квадратов проекции силы тяжести на ось Y и проекции силы F₀ на ось X. Вектор силы трения направлен под углом β к оси X. Для определения минимальной силы F₀ достаточно условия, что сумма всех сил, действующих на брусок, равна нулю:

F_тр + mg + F₀ + N = 0.

Записывая это уравнение в проекциях на оси Х, Y, Z и учитывая, что сила трения в пределе равна силе трения скольжения, получим:

X: F₀ – F_трcosβ = 0;

Y: F_трsinβ – mgsinα = 0;

Z: N – mg cosα = 0;

F_тр = μN.

Решение системы уравнений даёт

Продолжение следует