МГУ им. М.В. Ломоносова: физический факультет-2008

Вступительные испытания по физике

В марте 2008 г. на физическом факультете проводилась устная олимпиада по физике «Абитуриент-2008». Задания, предлагавшиеся участникам и – позже – абитуриентам, сдававшим вступительные испытания в июле 2008 г., содержали две задачи и два теоретических вопроса, взятых из Программы вступительных испытаний по физике в МГУ им. М.В.Ломоносова. В мае 2008 г. прошла ещё одна олимпиада – «Ломоносов-2008». Результаты всех испытаний оценивались по 100-балльной шкале. При оценке ответов особое внимание уделялось обоснованию возможности использования при решении задач тех или иных законов, а также умению формулировать предположения, при которых полученное решение верно. Ниже приведены задачи, предлагавшиеся на обеих олимпиадах и вступительном испытании по физике на физическом факультете в 2008 г.
По всем вопросам приёма обращаться по телефону (495) 939-1241 в Совет по новому приёму и работе со школьниками физического факультета МГУ.

I. механика
1. Из трубки пескоструйного аппарата мелкий песок выбрасывается вертикально вниз со скоростью, модуль которой равен

На каком расстоянии h от конца трубки плотность струи песка уменьшится в n = 2 раза? Влиянием воздуха на движение песчинок пренебречь. Площадь поперечного сечения струи песка считать постоянной.

Решение
По условию задачи, площадь поперечного сечения струи остается постоянной. Следовательно, суммарная масса песчинок, пролетающих через любое поперечное сечение струи, должна оставаться неизменной. Другими словами, должны выполняться соотношения:

– плотность струи песка в сечении, совпадающем с концом трубки, N – в искомом сечении, а v – модуль скорости песчинок в этом сечении. Следовательно,

По условию задачи, влиянием воздуха на движение песчинок следует пренебречь. Поэтому будем считать, что песчинки вне трубки совершают свободное падение, т.е. движутся только под действием силы тяжести. Считая, что труба покоится относительно Земли, а связанная с ней система отсчёта является инерциальной, на основании теоремы об изменении кинетической энергии каждой песчинки, можно утверждать, что

– ускорение свободного падения. Подставляя в это выражение ранее найденное значение v, получаем ответ:

2. На пол лифта, движущегося вертикально вверх относительно Земли с постоянной скоростью u, падает маленький шарик. Скорость шарика относительно Земли непосредственно перед ударом направлена вертикально вниз и равна

Найдите максимальное удаление шарика от пола лифта при дальнейшем движении, считая удар шарика о пол абсолютно упругим. Влиянием воздуха пренебречь.

Решение
При решении задачи будем считать массу лифта во много раз большей массы шарика. Тогда можно считать, что при ударе шарика скорость лифта остаётся неизменной. По условию задачи, удар шарика о пол лифта абсолютно упругий. Поэтому в неподвижной относительно Земли системе отсчёта, которую будем считать инерциальной, сразу после удара скорость шарика будет направлена вертикально вверх, а её модуль будет равен

Докажите это утверждение самостоятельно, воспользовавшись законами сохранения импульса и механической энергии.
По условию задачи, влиянием воздуха на движение шарика следует пренебречь. Поэтому дальнейшее движение шарика (вплоть до следующего удара о пол лифта) нужно считать свободным падением. Ясно, что удаление шарика от пола лифта станет максимальным через такой промежуток времени t после удара о пол, когда скорость шарика относительно лифта станет равной нулю, т.е. шарик будет двигаться относительно Земли со скоростью u. Следовательно, должно быть выполнено уравнение

Подставляя найденное из этого уравнения значение t в закон движения шарика, находим искомое удаление:

К одному концу жёсткого стержня на нерастяжимой нити подвешен груз массой М, а на другом конце закреплён блок так, как показано на рисунке. Стержень может свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, находящуюся от точки подвешивания груза М на расстоянии, равном 1/3 длины стержня. Через блок перекинута гладкая нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы с неизвестными массами m₁ и m₂, такими, что m₁ + m₂ = M. Грузы удерживают так, что стержень располагается горизонтально. В некоторый момент все грузы одновременно отпускают. При этом стержень остаётся неподвижным. Найдите массу второго груза. Массами нитей, стержня и блока пренебречь.

Решение
При решении задачи будем считать, что ось, на которой закреплён стержень, неподвижна относительно Земли, и неподвижная относительно Земли система отсчёта является инерциальной. Кроме того, будем пренебрегать влиянием воздуха на тела заданной системы и считать для определённости, что m₁ > m₂. Тогда можно считать, что после отпускания груз массой m₁ начнёт опускаться вертикально вниз с таким ускорением, модуль которого а удовлетворяет уравнению: m₁a = m₁g – T, где g – модуль ускорения свободного падения, а Т – модуль силы натяжения нити, действующей на этот груз.
По условию задачи, нить не имеет массы и гладкая. Следовательно, на неё не действуют силы трения и силы тяжести. Поэтому сила натяжения нити во всех её точках одинакова. Поскольку стержень остаётся неподвижным в выбранной системе отсчёта и нить нерастяжима, то груз массой m₂ после отпускания при выполнении сделанных предположений должен начать двигаться вертикально вверх с тем же по модулю ускорением, что и груз m₁. Следовательно, уравнение движения груза m₂ можно представить в виде:

Решая совместно составленные уравнения движения грузов, находим модуль силы натяжения нити:

Со стороны невесомой нити, прикрепленной к грузу массой М, на стержень действует направленная вертикально вниз сила, модуль которой равен Mg, а со стороны блока – также направленная вертикально вниз сила, модуль которой равен 2Т. Поскольку стержень после отпускания грузов остаётся неподвижным и не имеет массы, то согласно правилу моментов (относительно оси О) должно выполняться соотношение:
MgL/3 = 4TL/3, где L – длина стержня. По условию задачи, m₁ + m₂ = M. Поэтому из приведённых соотношений следует, что

Решая это уравнение, находим, что искомая масса второго груза

4. На гладком горизонтальном столе лежат, касаясь боковыми гранями, два одинаковых кубика. Длина ребра кубика равна L, а его масса M. Кубики скреплены друг с другом горизонтальным гвоздём массой m. Гвоздь вбит в правый кубик так, что проходит через его центр масс и достигает центра масс левого кубика. К правому кубику приложили постоянную горизонтальную силу F, в результате чего кубики начали поступательно двигаться по столу вправо. Через время t после начала движения гвоздь выскочил из левого кубика. Найдите силу трения, действовавшую со стороны гвоздя на левый кубик, считая её постоянной. Влиянием воздуха пренебречь.

Решение
Будем считать, что стол покоится относительно инерциальной системы отсчёта, ось Х которой совпадает с направлением силы F. На левый кубик со стороны гвоздя действует направленная параллельно силе F сила трения, модуль которой равен f. Поэтому в проекции на ось Х уравнение движения левого кубика имеет вид: MA = f, а правого кубика с гвоздём (m + M)a = F – f.
Следовательно, модуль ускорения правого кубика относительно левого равен

Так как за время t расстояние между кубиками увеличилось на 0,5L (гвоздь выскочил из левого кубика), то

Подставляя в это соотношение полученное значение a_отн ускорения кубика с гвоздём относительно другого кубика, находим модуль иско ой силы трения:

Отметим, что полученный ответ верен при

Если же это неравенство не выполняется, то условие задачи противоречиво и задача не имеет решения.

Продолжение следует