Продолжение. См. № 21/06

С.С.ЧЕСНОКОВ, С.Ю.НИКИТИН,
И.П.НИКОЛАЕВ, Н.Б.ПОДЫМОВА,
М.С.ПОЛЯКОВА, проф. В.И.ШМАЛЬГАУЗЕН,
физфак МГУ, г. Москва

sergeychesnokov@mail.ru

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах
на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова в 2006 г.

I. МЕХАНИКА (окончание)

6 Простейший прибор для измерения объёма протёкшей через него воды (водомер) представляет собой отрезок горизонтальной трубы переменного сечения, в широкую и узкую части которой вмонтированы тонкие вертикальные трубки. Площади сечения широкой и узкой части трубы равны соответственно S₁ = 30 см² и S₂ = 10 см². Какой объём воды V протекает через водомер за 1 с, если разность уровней воды в вертикальных трубках составляет h = 4 см? Течение воды считать стационарным, капиллярными эффектами в вертикальных трубках пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с².

Решение

Записывая для воды, текущей по трубе переменного сечения, уравнение Бернулли, имеем:

где p₁, p₂ – давления воды в широком и узком сечениях трубы, ₁, ₂ – скорости воды в этих сечениях, – плотность воды. Отсюда следует, что

С другой стороны, Объём воды, протекающей через водомер за единицу времени, определяется как

Объединяя записанные выражения, находим ответ:

7 Математический маятник отклонили от положения равновесия на малый угол ₀ = 0,1 рад и отпустили без начальной скорости, после чего маятник стал совершать гармонические колебания. Найдите максимальную величину _{y max} вертикальной составляющей скорости маятника. Длина маятника l = 0,4 м. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с². Считать, что sin .

Решение

Угол отклонения маятника от вертикали изменяется во времени по закону:

где – циклическая частота. Следовательно, модуль линейной скорости маятника зависит от времени следующим образом:

Величина вертикальной составляющей скорости маятника равна

Максимальное значение этой величины достигается при

Ответ.

8 По гладкому жёлобу, имеющему форму дуги окружности, из точки A без начальной скорости начинает скользить маленький брусок. Когда этот брусок проходит половину пути до нижней точки жёлоба (точки B), из точки A начинает скользить без начальной скорости второй такой же брусок.

Найдите, какой угол будет составлять с вертикалью прямая, соединяющая второй брусок с центром дуги (точкой O), в момент, когда первый брусок достигнет точки B, если AOB известен и равен ₀ (₀ 1).

Решение

При движении первого бруска угол ₁, задающий его положение, меняется во времени по закону

где R – радиус жёлоба. В момент t₁, когда начинает движение второй брусок,

откуда Следовательно, закон движения второго бруска имеет вид:

Когда первый брусок в момент времени t₂ достигает точки B, Поскольку искомый угол = ₂(t₂), ответ имеет вид:

9 На ракете, взлетающей вертикально с постоянным ускорением а = 1,25g, установлены маятниковые часы. Точно такие же часы расположены на поверхности Земли. На какое время t будут отличаться показания этих часов по истечении t = 1 мин после взлёта ракеты? Время t измерено по часам, находящимся на Земле. Зависимостью ускорения свободного падения g от высоты пренебречь.

Решение

По закону сложения ускорений модуль ускорения свободного падения в системе отсчёта, связанной с ракетой, равен g' = g + a. Следовательно, частота малых колебаний маятника, установленного на ракете,

где l – длина нити. Частота колебаний маятника, находящегося на Земле,

Так как показания часов пропорциональны числу колебаний маятника за рассматриваемое время, то по истечении времени полёта t часы на ракете покажут время

т.е. уйдут вперёд на

10 Два шарика массами m и 2m прикреплены к пружинам жёсткостями k и 8k соответственно и надеты на гладкий горизонтальный стержень. Свободные концы пружин заделаны в неподвижные стенки так, что в положении равновесия пружины не деформированы, а шарики касаются друг друга. Шарик массой m отводят влево на небольшое расстояние и отпускают без начальной скорости. Найдите время между первым и вторым соударениями шариков, считая их абсолютно упругими.

Решение

Пусть скорость шарика массой m перед ударом равна ₀. Из законов сохранения импульса и энергии при упругом столкновении шариков вытекают равенства:

Отсюда Направив координатную ось OX вправо и совместив начало координат с положением равновесия, для координат шариков имеем:

где A₁ и A₂ – амплитуды колебаний шариков, – частоты колебаний.

Скорости колеблющихся шариков определяются по формулам:

Полагая в этих формулах t = 0 и используя найденные ранее начальные значения скоростей ₁ и ₂, получаем, что Отсюда следует, что А₁ = А₂ = А. Второе столкновение шариков произойдёт в момент , когда x₁ = x₂. Имеем:

Отсюда

Ответ.

Продолжение в № 7