С.С.ЧЕСНОКОВ, С.Ю.НИКИТИН, И.П.НИКОЛАЕВ, Н.Б.ПОДЫМОВА, М.С.ПОЛЯКОВА, проф. В.И.ШМАЛЬГАУЗЕН, физфак МГУ, г. Москва sergeychesnokov@mail.ru Хочу учиться на ВМК! Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М.В.Ломоносова в 2006 г. I. МЕХАНИКА 1 С края бетонированного жёлоба, сечение которого изображено на рисунке, бросают в горизонтальном направлении маленький шарик. Каковы возможные значения величины начальной скорости шарика 0, при которых он, ударившись один раз о дно жёлоба, выпрыгнет на его противоположную сторону? При расчётах положите Н = 0,9 м, h = 0,5 м, l = 2 м. Ускорение свободного падения принять равным g = 9,8 м/с2. Удар шарика о дно жёлоба считать абсолютно упругим, сопротивлением воздуха пренебречь. Решение Траектории 1 и 2, изображённые на рисунке, соответствуют наименьшей 1 и наибольшей 2 скоростям шарика, удовлетворяющим условию задачи. Искомая скорость 0, очевидно, лежит в диапазоне Обозначим через времена падения шарика с высоты H и с высоты H – h соответственно. Движение шарика по траектории 1 занимает время а по траектории 2 – время Поскольку , имеем Объединяя записанные выражения, получаем: 2 Преследуя добычу со скоростью = 108 км/ч, гепард движется по прямой горизонтальной тропе прыжками длиной l = 8 м. Внезапно на пути гепарда встречается овраг глубиной H = 4/3 м. Оттолкнувшись от края оврага точно так же, как и при движении по тропе, гепард прыгает в овраг. Найдите горизонтальное перемещение гепарда L при этом прыжке. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2, сопротивление воздуха не учитывать, дно оврага считать горизонтальным. Решение Длительность прыжка гепарда при движении по горизонтальной тропе равна . Следовательно, высота прыжка над поверхностью тропы составляет Горизонтальное смещение гепарда при прыжке в овраг: где – время свободного падения с высоты H + h. Объединяя записанные выражения, получаем ответ: 3 Гиря массой m = 1 кг подвешена на верёвке. За свободный конец верёвки гирю начинают поднимать вертикально вверх. Какую работу A нужно совершить, чтобы поднять гирю на высоту h = 2 м за время  = 3 с? Считать, что сила натяжения верёвки во время подъёма груза постоянна. Верёвку считать невесомой и нерастяжимой. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с2. Решение Искомая работа равна изменению полной механической энергии гири за время подъёма: Скорость гири в конце подъёма легко найти из кинематических уравнений: Отсюда и 4 Два шарика массами m1 и m2 связаны между собой лёгкой пружиной и покоятся на гладком горизонтальном столе. Жёсткость пружины k, её длина в свободном состоянии l0. Раздвигая шарики, растягивают пружину до длины l, а затем отпускают шарики без начальной скорости. Определите скорость 1 шарика массой m1 в момент, когда длина пружины станет равной l0. Трением пренебречь. Решение Из законов сохранения импульса и полной механической энергии следуют равенства: Исключая из этих равенств 2, получаем ответ: 5 Фишки для игры в домино укладывают на горизонтальную поверхность ступенчатой стопкой, смещая вдоль длинной стороны каждую последующую фишку по отношению к предыдущей на d = 2 мм. Какое максимальное количество фишек N можно уложить таким образом, прежде чем стопка развалится? Длина каждой фишки l = 4 см. Решение Стопка развалится, когда её часть, состоящая из n фишек, начнёт опрокидываться, вращаясь вокруг оси, проходящей через точку A. Центр тяжести системы из n фишек, лежащих на нижней, (n + 1)-й, фишке, располагается на середине отрезка BC, соединяющего их центры тяжести. Выбрав начало координат в точке O, находим горизонтальные координаты точек B и C: Следовательно, горизонтальная координата центра тяжести этой системы Условие равновесия системы из n фишек имеет вид: Отсюда где символом обозначена целая часть числа.

.  .