Îêîí÷àíèå. Ñì. ¹ 14, 18, 22/02
Çàäà÷è, ïðåäëàãàâøèåñÿ íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ íà ôàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè ÌÃÓ èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà â 2001 ã.
Ðåøåíèå
Îáîçíà÷èì ÷åðåç R ñîïðîòèâëåíèå íàãðóçêè.
Ïîñêîëüêó íîìèíàëüíàÿ ìîùíîñòü íàãðóçêè ïðè
íàïðÿæåíèè íà íåé U0 ðàâíà
Äàëåå íàõîäèì òîê ÷åðåç íàãðóçêó è ïåðåäàþùóþ
ëèíèþ 
:
Ïîñêîëüêó ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ â ëèíèè ðàâíî DU = U0 – U1, ìîùíîñòü, âûäåëÿþùàÿñÿ â íåé, åñòü Pë=(U0–U1) I. Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà íàéäåííîå çíà÷åíèå òîêà, ïîëó÷àåì îòâåò:
è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 0,2 Îì.
Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëà Q âûäåëèòñÿ íà ðåçèñòîðå R1
ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà?Ðåøåíèå
Ïðè çàìêíóòîì êëþ÷å ÷åðåç èñòî÷íèê òå÷åò òîê 
Ýòîò òîê ðàçâåòâëÿåòñÿ íà äâà òîêà IL è IR, ïðîòåêàþùèõ ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç êàòóøêó è ðåçèñòîð R1 è óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå óðàâíåíèé:
IL + IR = I;
ILR = IRR1.
Îòñþäà 
Ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà (ðàçìûêàíèÿ êëþ÷à)
âîçíèêàþùàÿ â êàòóøêå ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè 
áóäåò êàêîå-òî
âðåìÿ ïîääåðæèâàòü â öåïè, îáðàçîâàííîé êàòóøêîé
è ðåçèñòîðîì R1, òîê
Ïðè ýòîì ïîëíàÿ ìîùíîñòü 
âûäåëÿþùàÿñÿ â ýòîé öåïè,
ðàñïðåäåëèòñÿ ìåæäó êàòóøêîé è ðåçèñòîðîì
ïðîïîðöèîíàëüíî èõ ñîïðîòèâëåíèÿì: 
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîùíîñòü, âûäåëÿþùàÿñÿ íà
ðåçèñòîðå, ñîñòàâëÿåò îò ïîëíîé ìîùíîñòè,
âûäåëÿþùåéñÿ â ýòîé öåïè, ñëåäóþùóþ äîëþ: 
Ïîñêîëüêó äàííîå îòíîøåíèå ìîùíîñòåé íå
çàâèñèò îò âðåìåíè, î÷åâèäíî, ÷òî òàêóþ æå äîëþ
ñîñòàâèò è ýíåðãèÿ, âûäåëèâøàÿñÿ íà ðåçèñòîðå çà
âðåìÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, îò ïîëíîé
ýíåðãèè, âûäåëèâøåéñÿ â öåïè.  ñâîþ î÷åðåäü,
ïîëíàÿ âûäåëèâøàÿñÿ ýíåðãèÿ ðàâíà ýíåðãèè
ìàãíèòíîãî ïîëÿ
â êàòóøêå â ìîìåíò îòêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà. Òàêèì
îáðàçîì, êîëè÷åñòâî òåïëà, âûäåëèâøåãîñÿ íà
ðåçèñòîðå R1 ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà, ðàâíî 
:
Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî ðàâåíñòâî íàéäåííûé ðàíåå òîê ÷åðåç êàòóøêó, ïîëó÷àåì îòâåò:
Êàòóøêà èíäóêòèâíîñòüþ L = 2 ìÃí ñ
îáìîòêîé ñîïðîòèâëåíèåì R = 10 Îì è êîíäåíñàòîð
åìêîñòüþ C = 10–5 Ô ïîäêëþ÷åíû ïàðàëëåëüíî ê
èñòî÷íèêó ñ ÝÄÑ 
è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 10 Îì. Êàêîå
êîëè÷åñòâî òåïëà Q âûäåëèòñÿ â êîíòóðå ïîñëå
îòêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà?
Ðåøåíèå
Ïðè çàìêíóòîì äîñòàòî÷íî äîëãîå âðåìÿ êëþ÷å â
öåïè óñòàíàâëèâàåòñÿ òîê ÷åðåç èñòî÷íèê è
êàòóøêó 
Íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ðàâíî íàïðÿæåíèþ íà
êàòóøêå: 
Ñóììàðíàÿ ýíåðãèÿ çàðÿæåííîãî êîíäåíñàòîðà è
êàòóøêè ñ òîêîì 
Ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà â êîíòóðå, ñîñòîÿùåì èç êàòóøêè è êîíäåíñàòîðà, âîçíèêíóò çàòóõàþùèå ýëåêòðîìàãíèòíûå êîëåáàíèÿ, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ âñÿ íà÷àëüíàÿ ýíåðãèÿ ïåðåéäåò â òåïëî:
Íà ðàâíîáåäðåííóþ ñòåêëÿííóþ ïðèçìó ïàäàåò øèðîêèé ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ñâåòà, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ãðàíè BC, øèðèíà êîòîðîé d = 5 ñì. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè L îò ãðàíè BC ïðåëîìëåííûé ïðèç-ìîé ñâåò ðàçäåëèòñÿ íà äâà íå ïåðåêðûâàþùèõñÿ ïó÷êà? Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà n = 1,5, óãîë ïðè îñíîâàíèè ïðèçìû a = 5,7°. Ïðè ðàñ÷åòàõ ó÷åñòü, ÷òî äëÿ ìàëûõ óãëîâ tga » sina » a.
Ðåøåíèå
Êàæäûé èç ëó÷åé ñâåòà, ïàäàþùèõ íà ïðèçìó, ïðåëîìëÿåòñÿ äâàæäû: íà ïåðåäíåé è çàäíåé åå ãðàíÿõ (ñì. ðèñóíîê).
Çàêîí ïðåëîìëåíèÿ íà ýòèõ ãðàíÿõ, çàïèñàííûé ñ ó÷åòîì ìàëîñòè óãëîâ ïàäåíèÿ è ïðåëîìëåíèÿ, äàåò ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
.
Ïîñêîëüêó g = a – b, ïîëó÷àåì äëÿ óãëà ïðåëîìëåíèÿ
çíà÷åíèå d = a(n
– 1). Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ïó÷êè ñâåòà,
ïðåëîìëåííûå ïðèçìîé, ïåðåñòàíóò ïåðåêðûâàòüñÿ
íà ðàññòîÿíèè L, óäîâëåòâîðÿþùåì óñëîâèþ 
Îáúåäèíÿÿ çàïèñàííûå âûðàæåíèÿ, ïîëó÷àåì
îòâåò: 
Ðåøåíèå
Ðàñïîëîæåíèå ëèíçû, èñòî÷íèêà è åãî èçîáðàæåíèÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîêàçàíî íà ðèñóíêå.
Çàïèøåì ôîðìóëó òîíêîé ëèíçû ñ
èñïîëüçîâàíèåì äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàññòîÿíèé
îáîçíà÷åíèé, ïðèâåäåííûõ íà ðèñóíêå: 
 ýòèõ âûðàæåíèÿõ ó÷òåíî, ÷òî ðàññòîÿíèå îò ëèíçû äî ìíèìîãî èçîáðàæåíèÿ, à òàêæå ìîäóëü ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ ðàññåèâàþùåé ëèíçû äîëæíû âîéòè â ôîðìóëó ëèíçû ñî çíàêîì «ìèíóñ». Êðîìå òîãî, ñïðàâåäëèâû òàêæå ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:
a-b=l1; b-c=l2
Îáúåäèíÿÿ çàïèñàííûå âûðàæåíèÿ, ïîëó÷àåì
îòâåò: 
Òåëî
ìàññîé m = 1 êã, íàñàæåííîå íà ãëàäêèé
ãîðèçîíòàëüíûé ñòåðæåíü, ñîâåðøàåò
ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ïîä äåéñòâèåì ïðóæèíû.
Êàêîâà ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ êîëåáàíèé E,
åñëè àìïëèòóäà êîëåáàíèé A = 0,2 ì, à ìàêñèìàëüíîå
óñêîðåíèå òåëà â ïðîöåññå êîëåáàíèé amax
= 3 ì/ñ2?
Ðåøåíèå
 ïðîåêöèè íà îñü, âäîëü êîòîðîé äâèæåòñÿ òåëî, óðàâíåíèå åãî êîëåáàíèé ïîä äåéñòâèåì ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k èìååò âèä:
ma = –kx,
ãäå a – óñêîðåíèå òåëà, x – åãî ñìåùåíèå îò
ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Îòñþäà 
è, ñëåäîâàòåëüíî, 
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
êîëåáàíèé ðàâíà 
, ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé
ïîëó÷àåì îòâåò: 
Ðåøåíèå
Áóäåì îòñ÷èòûâàòü êîîðäèíàòó ãèðè îòíîñèòåëüíî òî÷êè ïîäâåñà ïðóæèíû, êîîðäèíàòíóþ îñü OY íàïðàâèì âíèç. Ïóñòü äëèíà íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû ðàâíà l0, à åå æåñòêîñòü ðàâíà k. Òîãäà êîîðäèíàòà ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ãèðè x0 îïðåäåëèòñÿ èç óñëîâèÿ:
mg = k(x0 – l0),
îòêóäà 
.
Ãèðÿ ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ
ðàâíîâåñèÿ ñ àìïëèòóäîé A, ïîýòîìó â íèæíåé òî÷êå
êîîðäèíàòà ãèðè áóäåò xmax= x0 + A.
Ïî çàêîíó Ãóêà, ñèëà ðàñòÿæåíèÿ ïðóæèíû ïðè ýòîì ðàâíà F = k(xmax– l0) = mg + kA.
Æåñòêîñòü ïðóæèíû ëåãêî íàéòè, çíàÿ ïåðèîä
êîëåáàíèé ãèðè 
Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå k â âûðàæåíèå äëÿ ñèëû
ðàñòÿæåíèÿ ïðóæèíû, ïîëó÷àåì îòâåò: 
.
