Абитуриенту

А.А. Широков, Н.Н. Гомулина, В.П. Недошивин,
школа № 659, г. Москва

В УНИВЕРСИТЕТ!

Задачи, предлагавшиеся в разные годы
при поступлении на естественные факультеты МГУ

Продолжение. См. № 30/01

Задача 60. В открытой с обоих концов горизонтальной трубке площадью поперечного сечения S = 10 см² на расстоянии l = 10 см от одного из ее концов находится поршень. С этого же конца вставляют и начинают медленно вдвигать в трубку другой поршень. При каком расстоянии между поршнями первый сдвинется с места? Сила трения скольжения, действующая на поршень со стороны стенок трубки, F_тр = 100 Н, атмосферное давление p₀ = 10⁵ Па. Температуру считать постоянной, толщиной поршней пренебречь.

Дано: S = 10 см2, l = 10 см, Fтр = 100 Н, p0 = 105 Па, T = const. _________ x – ?

СИ 10–3 м2, 0,1 м.

Анализ условия

Первый поршень взаимодействует с Землей, со стенками трубки и воздухом, находящимся по обе стороны поршня, поэтому на него действуют сила тяжести mg, реакция опоры Q и силы давления: F₁ – со стороны воздуха, находящегося между поршнями, и F₂ – со стороны наружного воздуха.

Когда этот поршень начинает двигаться, то составляющая реакции опоры по направлению движения, называемая силой трения, достигает своей максимальной величины F_тр = 100 Н. Так как температура газа остается постоянной, т.е. поршень вдвигают достаточно медленно, то процесс изотермический.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с Землей, и будем считать ее инерциальной. можно считать, что поршень начинает двигаться с постоянной и очень маленькой скоростью. Тогда уравнение его движения имеет вид: mg + Q + F₁ + F₂ = 0.

Для проекций на ось Ox:    –F_тр + F₁ – F₂ = 0.

Из определения давления получим   F₁ = p₁S; F₂ = p₀S. Тогда

–F_тр + p₁S – p₀S = 0.            (1)

Так как процесс изотермический, то, по закону Бойля–Мариотта, получим  p₀V₀ = p₁V₁, или

и уравнение (1) принимает вид:

Тогда

Проверка решения по размерности

С этой точки зрения задача решена верно, тогда

Задача 61. Маленький шарик массой m = 1 г и зарядом q = 10^–7 Кл подвешен на невесомой нерастяжимой нити, другой конец которой закреплен. При помещении этой системы в однородное вертикальное электрическое поле модуль силы натяжения нити в новом положении остался таким же, каким был при отсутствии поля. найдите величину напряженности поля.

Дано: m = 103 кг, q = 10–7 Кл, E = const, T1 = T2. __________ E – ?

Анализ условия

При отсутствии электрического поля подвешенный заряженный шарик взаимодействует с Землей и нитью, на него действуют сила тяжести mg и сила упругости F_упр нити, а он действует на нить силой натяжения T₁.

Если электрическое поле направить вниз, то действующая на шарик кулоновская сила также будет направлена вниз. Вследствие этого сила натяжения нити увеличивается и не может быть равна первоначальной. Поэтому силовые линии электрического поля должны быть направлены вертикально вверх.

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с Землей, и будем считать ее инерциальной. Рассмотрим данную ситуацию без электрического поля. Шарик находится в равновесии, и условие равновесия в этом случае выглядит так: mg + F_упр1 = 0, или для проекций на ось Oy:

mg – F_упр1 = 0;    F_упр1 = mg.

По третьему закону Ньютона, T₁ = F_упр1. Сила натяжения T₁ в этом случае равна mg. При включении электрического поля условие равновесия имеет вид:

mg + F_упр2 + F = 0,

или для проекций на ось Oy:

mg + F_упр2 – F = 0.

По третьему закону Ньютона,  F_упр2 = T₂ – силе натяжения нити. Тогда

mg + T₂ – F = 0;    F = mg + T₂.

По условию задачи,   T₂ = T₁ = mg, поэтому   F = mg + mg = 2mg.

Из определения напряженности электрического поля следует, что F = qE. Тогда  qE = 2mg и 

Проверка решения по размерности 

С этой точки зрения задача решена верно, тогда

Задача 62. Электрон движется в однородном электрическом поле напряженностью E = 0,5 • 10³ В/м и в однородном магнитном поле индукцией B = 10^–2 Тл, причем векторы E и B имеют одинаковое направление. Найдите величину ускорения электрона в тот момент, когда его скорость равна v = 10⁵ м/с и составляет угол a = 60° с направлением векторов E и B. Отношение заряда электрона к его массе e/m=1,76•10¹¹ Кл/кг.

Дано: E = 0,5 • 103 В/м, B = 10–2 Тл, E || B, E = const, B = const, v = 105 м/с, a = 60°, e/m=1,76•1011 Кл/кг. _________ a – ?

Решение

Выберем систему отсчета, связанную с Землей, и будем считать ее инерциальной. На движущийся электрон как на заряженную частицу со стороны магнитного поля действует сила Лоренца. По правилу левой руки, она направлена вверх, перпендикулярно плоскости рисунка.

Со стороны электрического поля на электрон действует кулоновская сила, направленная противоположно силовым линиям электрического поля. следовательно, F_к ^ F_л и величину результирующей силы R найдем по теореме Пифагора:

Из определения напряженности E электрического поля следует, что F_к = eE, а сила Лоренца равна F_л=evB sina. Тогда

Отсюда Ускорение a направлено так же, как и сила R. Поэтому вектор ускорения будет лежать в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка, под углом b к силовым линиям:

Задача 63. Две одинаковые лампочки мощностью P = 100 Вт каждая, рассчитанные на напряжение U₀ = 127 В, включены в сеть напряжением U = 220 В, как показано на рисунке. При каком сопротивлении резистора R лампочки горят в нормальном режиме?

Дано: P = 100 Вт, U0 = 127 В, U = 220 В. _________ R – ?

Решение

Для нормальной работы лампочек необходимо, чтобы на сопротивлении R падало «лишнее» напряжение U – U₀. Пусть в неразветвленной цепи протекает ток I₀. Тогда, по закону Ома для участка цепи, U – U₀ = I₀R.

В узле ток I₀ разветвляется, и через каждую лампочку протекает ток I = P/U₀. Так как носители заряда в цепи нигде не накапливаются, то

Отсюда

Проверка решения по размерности 

С этой точки зрения задача решена верно, тогда 

Продолжение читаайте в № 38/01