Физфак МГУ им. М.В. Ломоносова–2009: Дистанционная олимпиада «Шаг в физику»

МГУ Окончание. См. № 7, 8, 9, 10/2010

11-й класс

рис.2 3. Тонкой пластмассовой спице придали форму, изображённую на рисунке, изогнув её в виде дуги, образующей четверть окружности радиусом R = 1 м, и кольцевого витка радиусом r = 0,25 м. Плоскость дуги и витка расположена вертикально. По спице может без трения перемещаться маленькая бусинка массой m = 1 г, несущая заряд q = 2 · 10^–9 Кл. Вся система помещена в однородное электрическое поле напряжённостью E = 5 · 10³ В/м, направленное горизонтально в плоскости дуги и витка. Бусинку помещают в точку A, в которой касательная к дуге окружности радиусом R вертикальна, и отпускают без начальной скорости. В какой точке траектории бусинка будет иметь максимальную скорость? Чему равна эта скорость? Заряд бусинки при движении остаётся неизменным. Поляризацией пластмассы и потерями энергии на излучение можно пренебречь.

Решение

рис.3 Бусинка движется под действием трёх сил: силы тяжести mg, кулоновской силы qE и силы реакции спицы N. Первые две силы образуют однородное силовое поле, направленное под углом α к вертикали, причём формула1

Скорость бусинки максимальна в точке, в которой вектор скорости перпендикулярен суммарной силе, действующей на неё. Как видно из рисунка, эта точка лежит на пересечении прямой, проходящей через центр кольца под углом α к вертикали, с окружностью радиусом r в нижней её части.

Для нахождения максимальной скорости воспользуемся законом сохранения энергии. Выберем точку A за точку отсчёта потенциальной энергии. Тогда

где x₀ = R + r sin α, y₀ = R – r(1 – cos α).

Искомая скорость

рис.4 4. По тонкому непроводящему кольцу радиусом R = 10 см равномерно распределён заряд Q = 10^–7 Кл. Кольцо закреплено так, что его плоскость вертикальна. Перпендикулярно плоскости кольца расположен непроводящий тонкий стержень, проходящий через центр кольца. По стержню может без трения скользить маленькая бусинка массой m = 1 г, несущая заряд –q (q = 10^–8 Кл). Бусинку смещают от положения равновесия на малое расстояние и отпускают. Найдите период возникших при этом колебаний бусинки. Потерями энергии на излучение можно пренебречь.

Решение

рис.5 Поместим начало координат в центр кольца, а координатную ось X направим по оси стержня. Напряжённость E электрического поля, создаваемого кольцом на оси X, направлена вдоль этой оси, а модуль напряжённости в точке с координатой x равен

где ε₀ = 8,85 · 10^–12 Ф/м – электрическая постоянная. Подробный вывод этой формулы приведён, например, в учебнике Мякишева и др. (Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободсков Г.А. Физика: Электродинамика. 10–11 кл.: учеб. для углубл. изучения физики. М.: Дрофа, 2001. § 1.16). Поскольку, по условию, x ≪ R, величиной x² по сравнению с R² в знаменателе формулы для E можно пренебречь. Тогда эта формула примет приближённый вид:

Таким образом, на бусинку, смещённую на малое расстояние от положения равновесия (x = 0), действует сила F, проекция которой на ось X равна:

Уравнение движения бусинки под действием этой силы имеет вид:

Отсюда следует, что круговая частота малых колебаний бусинки

Учитывая, что период колебаний T = 2π/ω, получаем ответ:

рис.6 5. На расстоянии a = 10 см от точечного источника света находится непрозрачный экран с круглым отверстием диаметром d = 3 см. На расстоянии b = 20 см от экрана позади него расположено плоское зеркало, на котором имеется сферический выступ диаметром D = 6 см и радиусом кривизны R = 40 см. Источник света, центр отверстия и центр сферического выступа находятся на одной прямой, а экран и плоская часть зеркала перпендикулярны к ней. Определите радиус r освещённой области на поверхности экрана, обращённой к зеркалу.

Решение

рис.7 Размер освещённой области на экране ограничивает либо луч 1, отражённый от плоского зеркала, либо луч 2, отражённый от края сферического выступа (см. рисунок).

Для луча 1: AB = d/2 + 2b tgα, где tgα = d/(2a).

Таким образом, радиус пятна, даваемого лучом 1:

Пусть точка O – мнимое изображение источника в сферическом зеркале. По формуле зеркала формула11 получаем:

Из рисунка видно, что формула13

Следовательно, радиус пятна, даваемого лучом 2:

Поскольку r₂ > r₁, условию задачи удовлетворяет r = r₂. Искомый радиус r = 8 см.