Физфак МГУ им. М.В. Ломоносова–2009. Дистанционная олимпиада «Шаг в физику»

МГУ Продолжение. См. № 7/2010

9-й класс (окончание)

3. Из истории мореплавания во льдах полярных морей хорошо известно, какую опасность для кораблей представляют периодически происходящие сжатия ледяных полей. Если корабль сконструирован ненадлежащим образом, то возникающие при сжатии льдов силы могут разрушить его, даже если корабельная обшивка весьма прочна. Дело в том, что трение льда о корабельную обшивку довольно велико даже при температуре, близкой к 0 °С. Исследования показали, что коэффициент трения новой стальной обшивки о лёд равен 0,2. Исходя из этих данных определите, каков должен быть угол наклона бортов корабля к вертикали на уровне кромки льдов, чтобы напирающий на корабль лёд не сделал в нём пробоину.

Решение

Для удобства анализа рассмотрим вначале случай, когда угол α₀ наклона борта корабля AB к вертикали таков, что сила F, действующая на борт со стороны льда, направлена горизонтально (рис. а). Отметим, что этот случай весьма опасен для корабля, т. к. лёд при достаточно сильном напоре может продавить борт независимо от прочности обшивки. Разложим силу F на две составляющие: перпендикулярную борту силу нормального давления N и направленную по касательной к борту силу трения F_тр. По закону сухого трения, сила трения покоя F_тр ≤ mN, где µ – коэффициент трения (µ = 0,2). Из рисунка (а) видно, что F_тр = N tgα₀. Следовательно, tgα₀ ≤ µ. Взяв для силы трения покоя её максимальное значение, находим, что соответствующий рассматриваемому случаю угол наклона борта корабля к вертикали α₀ = arctgµ ≈ 11,3º.

Если сделать угол наклона борта к вертикали больше, чем α₀, то сила давления льда на борт будет направлена наклонно и у неё появится вертикальная составляющая, направленная вверх (рис. б). Эта составляющая будет стремиться выдавить корабль на поверхность льда. Соответственно равная ей по модулю составляющая, действующая со стороны корабля на лёд, будет увлекать лёд под воду. Лёд будет скользить вдоль борта вниз и при достаточной прочности обшивки не причинит кораблю вреда. Таким образом, для безопасного плавания во льдах угол наклона бортов корабля к вертикали на уровне кромки льдов должен превышать 11,3º.

4. Влажный снег при температуре 0 °С представляет собой смесь воды и кристалликов льда. Для определения количества воды и льда в снеге провели следующий опыт. Набрав снег в два одинаковых стакана, один из них поддерживали при нулевой температуре, а другой вместе с содержимым нагрели до температуры t₀ = 100 °С, а затем смешали в калориметре содержимое обоих стаканов. После установления теплового равновесия оказалось, что температура воды в калориметре t₁ = 40 °С. Какова объёмная доля k льда в снеге по результатам этого опыта? Ответ выразите в процентах.

Решение

Пусть V₀ – объём снега в стакане. Тогда лёд в стакане занимает объём V_л = kV₀, а вода – объём V_в = (1 – k)V₀. Обозначим через ρ_л и ρ_в плотности льда и воды, через с_в – удельную теплоёмкость воды, а через λ – удельную теплоту плавления льда. Тогда масса содержимого каждого из стаканов равна m = ρ_лkV₀ + ρ_в(1 – k)V₀, а уравнение теплового баланса имеет вид:

ρ_лkV₀λ + (ρ_лkV₀ + ρ_в(1 – k)V₀)с_вt₁ = (ρ_лkV₀ + ρ_в(1 – k)V₀)с_в(t₀ - t₁)

Принимая ρ_в = 10³ кг/м³, ρ_л = 0,9 · 10³ кг/м³, с_в = 4,2 кДж/(кг·К), λ = 333,5 кДж/кг, получаем ответ: k ≈ 27,2%.

рис.2 5. Две прямые дороги AB и CB пересекаются в точке B под углом α = 45º. На перекрёстке B установлено широкое плоское зеркало, расположенное перпендикулярно дороге AB так, что велосипедист, едущий к точке B по дороге CB, видит в зеркале бегуна, направляющегося к точке B по дороге AB. Какова скорость бегуна υ, если скорость велосипедиста V = 18 км/ч, а изображение бегуна приближается к велосипедисту с относительной скоростью u = √2V?

Решение

рис.3 Построение изображения Б₁ бегуна Б представлено на рисунке. Относительно неподвижного наблюдателя это изображение движется по прямой Б₁Б навстречу бегуну со скоростью, модуль которой равен υ. Используя закон сложения скоростей, находим, что относительно велосипедиста изображение бегуна движется со скоростью u = –υ – V.

По теореме косинусов, u² = υ² + V² - 2υVcos(π - α).

Учитывая, что cos(π - α) = -cosα, получаем квадратное уравнение υ² + 2υVcosα + V² - u² = 0. Условию задачи удовлетворяет положительный корень:

Продолжение следует