Абитуриенту

Физфак МГУ им. М.В. Ломоносова–2009. Дистанционная олимпиада «Шаг в физику».

Продолжение. См. № 7, 8/2010

10-й класс

1. Клин с углом α = 30° при вершине находится на горизонтальном столе. На поверхности клина располагается брусок массой m = 1 кг, к которому привязана невесомая нерастяжимая нить. Второй конец нити перекинут через блок на клине и прикреплён к неподвижной опоре. При этом отрезок нити от опоры до блока горизонтален, а отрезок нити от блока до бруска параллелен поверхности клина. Найдите величину N силы нормального давления бруска на клин, если клин двигают по столу вправо с ускорением a₀ = 2 м/с². Движение всех тел происходит в плоскости рисунка. Трением пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 10 м/с².

Решение

Первый способ. Согласно закону сложения ускорений, ускорение a бруска в неподвижной системе отсчёта равно a = a₀ + a_отн. Относительное ускорение бруска a_отн направлено вдоль наклонной поверхности клина вверх и по модулю совпадает с a₀. Из рис. а видно, что а вектор a образует с вертикалью угол α/2.

Силы, действующие на брусок в неподвижной системе отсчёта, изображены на рис. б, где mg – сила тяжести, T – сила натяжения нити, N – сила реакции наклонной поверхности клина. Записывая уравнение движения бруска в проекции на ось Y, имеем

Используя полученное выше выражение для a, а также формулу получаем ответ:

N = mg cosα + ma₀ sinα ≈ 9,7 Н.

Второй способ. Перейдём в систему отсчёта, связанную с клином. В этой системе брусок движется с ускорением a₀ вверх вдоль поверхности клина. Силы, действующие на брусок, изображены на рисунке, где через F_ин обозначена сила инерции, равная взятому с обратным знаком произведению массы бруска на ускорение клина: F_ин = –ma₀. Учитывая, что в подвижной системе отсчёта ускорение бруска перпендикулярно силе реакции поверхности клина, в проекции на ось Y имеем:

N = mg cosα + ma₀ sinα.

 

2. Решив самостоятельно изучить законы реактивного движения, ученик собрал установку, изображённую на рисунке. Он установил на тележку металлический сосуд, частично заполнил его водой, герметично закрыл крышкой и начал нагревать с помощью спиртовки. Когда температура воды в сосуде поднялась до t = 100 °C, ученик открыл маленькое отверстие, расположенное в боковой стенке сосуда вблизи его дна. С каким ускорением а тронулась с места тележка? Суммарная масса сосуда, воды и тележки M = 1 кг, высота уровня воды в сосуде h = 5  см, площадь отверстия s = 3 мм², атмосферное давление p₀ = 10⁵ Па, температура окружающего воздуха t₀ = 20 °C. Поверхность стола, на котором находится тележка, горизонтальная, твёрдая и ровная, подшипники, на которых установлены колёса тележки, очень хорошие.

Решение

В сосуде под крышкой находятся сухой воздух и насыщенный водяной пар. При температуре t = 100 °C давление насыщенного пара равно атмосферному давлению. Следовательно, давление газовой смеси в сосуде равно p = p_в + p₀, где p_в – парциальное давление сухого воздуха. Пренебрегая давлением водяных паров при температуре t₀ = 20 °C, а также изменением свободного от воды объёма в сосуде, связанным с частичным испарением воды и её тепловым расширением, для определения давления сухого воздуха можно использовать закон Шарля, согласно которому где T = t + 273 °C, T₀ = t₀ + 273 °C. Таким образом,

Уравнение Бернулли для воды, вытекающей из отверстия в момент его открывания, имеет вид:

где ρ = 10³ кг/м³ – плотность воды, g = 9,8 м/с – ускорение свободного падения, υ – скорость истечения воды из отверстия. Отсюда

Масса воды, вытекшая из отверстия за малое время ∆t после открывания крана, ∆m = ρSυ∆t.

Изменение импульса воды, вытекшей из сосуда за время ∆t, а именно ∆p = ∆m ∙ υ = ρSυ²∆t,равно изменению импульса тележки и сосуда с оставшейся в нём водой за это же время. Следовательно, реактивная сила, действующая на тележку,

С учётом того, что ∆m ≪ M, из второго закона Ньютона следует равенство Ma = F. Объединяя записанные выражения, получаем ответ:

 

3. Два горизонтально расположенных цилиндрических сосуда закрыты подвижными поршнями, соединёнными жёстким горизонтальным стержнем. В левом сосуде находится гелий, а в правом – насыщенный водяной пар при температуре 100 ºС. Первоначальные объёмы гелия и пара равны соответственно V₁ = 5 л и V₂ = 1 л. Какое количество теплоты Q нужно сообщить гелию, чтобы его давление увеличилось в n = 1,2 раза? Температура в правом сосуде поддерживается постоянной. Трением поршней пренебречь.

Решение

До тех пор, пока весь пар в правом сосуде не сконденсируется, его давление будет постоянно и равно p₀ = 10⁵ Па. Следовательно, на первом этапе нагревание гелия происходит при постоянном давлении и

Замечание. Изменение объёма гелия в процессе конденсации пара действительно будет практически совпадать с V₂, т. к. масса водяного пара, первоначально содержавшегося в сосуде, равна 0,6 г. Следовательно, объём образовавшейся из пара воды составляет 0,06% от первоначального объёма водяного пара, и по сравнению с V₂ им можно пренебречь.

При дальнейшем сообщении теплоты гелию происходит его нагрев при постоянном объёме:

ΔQ₂ = (3/2)νRΔT₂ = (3/2)(n - 1)p₀(V₁ + V₂);

Q = ΔQ₁ + ΔQ₂= (5/2)p₀V₂ + (3/2)(n - 1)p₀(V₁ + V₂);

Q = 430 Дж.

 

4. Электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке, состоит из конденсатора, резисторов сопротивлениями R₁ = 3 Ом и R₂ = 2 Ом, источника тока и ключа. Первоначально ключ был разомкнут. Найдите внутреннее сопротивление источника r, если известно, что сила тока через источник сразу после замыкания ключа в n = 2 раза больше установившейся силы тока в цепи.

Решение

Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе равно нулю и скачком измениться не может. Следовательно, в начальный момент ток через резистор R₁ не течёт. Поэтому начальный ток в цепи источника где – ЭДС источника. После того как конденсатор зарядится, ток в цепи станет равным

Учитывая, что, по условию, получаем ответ:

 

5. Электрическая цепь, схема которой изображена на рисунке, состоит из пяти одинаковых лампочек, ключа К и предохранителя П, разрывающего цепь при токе, превышающем I₀ = 0,1 А. Цепь подключена к сети постоянного тока напряжением U₀ = 220 В. При каких значениях номинальной мощности лампочек они светятся в положении ключа 1, а при перебрасывании ключа в положение 2 гаснут вследствие срабатывания предохранителя? Зависимостью сопротивления лампочек от температуры, а также сопротивлением предохранителя пренебречь.

Замечание. Номинальной называется мощность, выделяющаяся в лампочке при подключении её к номинальному напряжению U₀.

Решение

Номинальная мощность лампочки , откуда сопротивление лампочки

Когда ключ находится в положении 1, полное сопротивление цепи равно и ток через предохранитель равен

Поскольку предохранитель в этом случае не срабатывает, I₁ < I₀. Отсюда находим максимальное значение номинальной мощности лампочки N_max = (8/3)I₀ U₀.

Когда ключ находится в положении 2, полное сопротивление цепи равно и ток через предохранитель равен

Поскольку предохранитель в этом случае срабатывает, I₂ > I₀. Следовательно, минимальная номинальная мощность лампочки N_min = (5/2)I₀ U₀.

Итак, номинальная мощность лампочки лежит в пределах

(5/2)I₀ U₀ < N < (8/3)I₀ U₀, т. е. 55 Вт < N < 58,7 Вт.

Продолжение следует