Задачи, тесты

Физика заводной игрушки

Нет сомнения в том, что почти все учащиеся и их учителя играли в детстве с заводным автомобилем. Вспоминая это время, рассмотрим теперь игрушку как объект физического исследования. Проделав опыты (что удобнее вдвоём) и вычисления, ответим на следующие вопросы: • Какой путь s_m пройдёт автомобиль до остановки? • Чему равны средняя скорость и максимальная скорость υ_m игрушки? • Как велико её время движения t? • Какую среднюю мощность и максимальную мощность N_m развивает машинка? Особенно интересно сравнить теоретические данные с экспериментальными, где это возможно.

Отметим сначала, что мы пренебрегаем кинетической энергией вращения колёс и осей автомобиля ввиду их относительной малости. Опыт свидетельствует, что колёса на горизонтальном ровном линолеуме не проскальзывают. Считаем, что игрушка движется прямолинейно. Сделаем необходимые измерения. Масса игрушки M = 0,4 кг, массы колеса и оси случайно совпали: m = 0,01 кг. Диаметр колеса D = 48 мм, диаметр оси d = 1,5 мм. Кинетическая энергия вращения колеса равна (1/4)mυ² где υ – скорость точек его обода.

Так как проскальзывания колёс нет, то отношение кинетической энергии вращения четырёх колёс к кинетической энергии автомобиля равно 2m/M = 0,05.

Об энергии вращения осей и говорить нечего. Покажите сами, что она значительно меньше энергии вращения колёс.

Подсчитаем потенциальную энергию E заведённой пружины в «моторе» автомобиля, которая, раскручиваясь, движет игрушку. предварительно в заводном ключе с помощью гвоздя и молотка сделаем два несквозных углубления на одинаковом расстоянии r = 1 см от его оси для зацепления крючками двух динамометров. Обнаруживаем, что сила F, измеряемая каждым из них, прямо пропорциональна углу поворота ключа φ, который для упрощения расчётов выражаем в радианах: Здесь a = 0,64 Н – коэффициент пропорциональности, l – путь точки приложения силы F.

Потенциальная энергия пружины, закрученной парой сил на угол φ, равна совершённой при заводе работе и определяется аналогично потенциальной энергии «прямолинейной» пружины:

Поскольку l = 2πrn, где n – число оборотов ключа, то E = 4π²arn². Постоянную величину 4π²ar = 0,25 Дж удобно обозначить одной буквой E₀. Её физический смысл прозрачен: это энергия пружины после первого оборота ключа. Тогда окончательно имеем E = E₀n².

Ясно, что максимальная потенциальная энергия E_m пружины равна где n_m = 4 – максимальное число оборотов ключа.

Очевидно, что автомобиль остановится, когда энергия завода E_m полностью израсходуется на работу против силы сопротивления качению F_кач = 0,2 H. Поэтому из уравнения F_качs_m= E₀n_m² находим

Реально автомобиль прошёл 19 м за 9 с со средней скоростью 2,1 м/с. Каково же её теоретическое значение? Оказывается, что поиск точного ответа на поставленный вопрос наталкивается на весьма громоздкие вычисления и привлечение новых величин. Поэтому мы пойдём другим путём.

Пусть игрушка прошла путь s и пружина при этом ещё закручена на n оборотов. По закону сохранения энергии, запишем уравнение

где υ – мгновенная скорость машинки. Усредним это уравнение, положив в нём Хотя эти «половинки» достигаются неодновременно, результаты вычислений оправдывают их физическую рискованность. Наше уравнение превращается из дифференциального (вспомним, что υ = s′) в алгебраическое с одним неизвестным – средней скоростью . Ну а точные расчёты превращаются соответственно в оценочные. Ввиду достаточно хорошего совпадения теории с опытом, знак пропорциональности ~, употребляемый при оценках физических величин, заменим знаком приближённого равенства ≈. После очевидных выкладок получаем:

Максимальная скорость автомобиля определяется неоднозначно. Положим по аналогии с соотношением амплитудного и действующего значений синусоидальной величины

Можно считать что справедливо при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью. Своя логика есть в обоих предположениях. Действительно, первая часть пути игрушки при нераскрученной полностью пружине в своём роде аналог гармонического колебания. Вторую же часть пути автомобиль движется с остановившимся «мотором» равнозамедленно. Истина лежит где-то посередине.

Время движения машинки t находится, естественно, как отношение

Конечно, столь точное совпадение с опытом случайно. Очевидно, что средняя мощность автомобильчика, развиваемая им на пути

а максимальная мощность N_m находится в границах 0,63–0,98 Вт.

Продолжение следует