Задачи, тесты

ЕГЭ по-американски

Продолжение. См. № 15, 19, 21/2009

Примеры из ч. II экзамена АР Physics С (electricity and magnetism) в 2009 г. На решение задач дано 45 мин^*.

1 (15 баллов). Заряд Q₀ распределён сферически симметрично внутри сферы радиусом R. Электрический потенциал V(r) поля зависит от расстояния r до центра этой сферы следующим образом:

Ответьте на все вопросы, используя данные величины и фундаментальные константы.

а) Для следующих областей обозначьте направление напряжённости E(r) электрического поля и выведите выражение для её модуля.

i. r < R.

____ направлен по радиусу внутрь;

____ направлен по радиусу наружу.

(3 балла, | направлен внутрь.)

ii. r > R.

____ направлен по радиусу внутрь;

____ направлен по радиусу наружу.

(2 балла, | направлен наружу.)

b) Для следующих областей выведите зависимость заряда Q, заключённого в них, от r.

с) Имеется ли какой-нибудь заряд Q на поверхности этой сферы (r = R)? Если да, то найдите величину этого заряда. Обоснуйте свой ответ.

____Да; ____Нет. (2 балла, да, Q = 7Q₀.)

d) (3 балла) Используя оси, изображённые на рисунке, нарисуйте график зависимости силы, действующей на пробный положительный заряд, от r в областях, где r < R и r > R. Считайте силу, направленную радиально наружу, положительной.

 

2 (15 баллов). Батарея с ЭДС 9,0 В подсоединена к прямоугольному стержню длиной 0,080 м, поперечным сечением 5,0 · 10^–6 м², сделанному из материала с удельным сопротивлением 4,5 · 10^–4 Ом · м, как показано на рисунке. Электроны являются единственными свободными зарядами в этом стержне. Считать, что провода имеют пренебрежимо малое сопротивление. Ключ электрической цепи замыкают в момент t = 0.

a) Вычислите мощность, выделяемую в этой электрической цепи. (3 балла, 11 Вт.)

b) На чертеже обозначьте направление напряжённости электрического поля в стержне. (3 балла, слева направо.)

с) Вычислите модуль напряжённости электрического поля. (2 балла, 110 В/м.)

Стержень помещают в однородное магнитное поле индукцией 0,25 Тл, направленной перпендикулярно стержню, см. рисунок.

d) Вычислите силу, действующую на стержень со стороны магнитного поля. (2 балла, 0,025 Н.)

e) Электроны, движущиеся по стержню, отклоняются в магнитном поле. На чертеже обозначьте направление дополнительного электрического поля, отклоняющего эти электроны (1 балл, вверх.)

f) Электроны движутся по стержню со средней скоростью 3,5 · 10^–3 м/с. Вычислите напряжённость дополнительного электрического поля, о котором шла речь в (е). (3 балла, 8,8 · 10^–4 В/м.)

 

3 (15 баллов). Квадратная проволочная петля со стороной L соединяет две одинаковые лампочки, 1 и 2. Петля находится в магнитном поле, вектор индукции которого направлен перпендикулярно плоскости листа от читателя, а модуль индукции B(t) = at + b, где a и b – положительные постоянные коэффициенты, t – время. Каждая лампочка имеет сопротивление R₀.

a) Выведите выражение для модуля ЭДС ||, генерируемой в этой петле. (4 балла, ||= aL².)

b) i. Выведите выражение для тока I в лампе 2. (2 балла, )

ii. Обозначьте на рисунке вверху направление тока в лампе 2. (1 балл, вверх.)

c) Выведите выражение для мощности P, рассеиваемой в лампе 1. (2 балла, )

Ещё одну такую же лампу 3 подсоединяют параллельно лампе 2, но она находится вне магнитного поля (см. рисунок).

d) Какой станет яркость лампы 1?

____ больше; ___ меньше; ___не изменится.

Обоснуйте ответ. (4 балла, больше.)

Часть схемы, содержащую лампу 3, удаляют, а середины горизонтальных сторон первоначальной схемы соединяют проволокой (см. рисунок).

e) Какой станет яркость лампы 1?

____ больше; ___ меньше; ___не изменится.

Обоснуйте ответ. (2 балла, не изменится.)

 

Примеры из ч. II экзамена АР Physics С (mechanics)

1 (15 баллов). Тело массой 3 кг движется вдоль оси X. При этом потенциальная энергия тела U зависит от х, как U = 4,0x², где U выражается в джоулях, а х – в метрах. Когда тело проходит точку х = –0,50 м, его скорость составляет +2,0 м/с. Все силы, действующие на тело, консервативны.

а) Вычислите общую механическую энергию тела. (2 балла, 7 Дж.)

b) Вычислите координаты точек, кинетическая энергия тела в которых будет равна нулю. (3 балла, ±1,3 м.)

c) Вычислите модуль импульса этого тела, находящегося в точке х = 0,60 м. (3 балла, 5,8 кг · м/с.)

d) Вычислите модуль ускорения тела, когда оно находится в точке х = 0,60 м. (3 балла, 1,6 м/с².)

e) Используя оси, показанные справа и слева, нарисуйте графики зависимости координаты этого тела х и его кинетической энергии K от времени t, считая, что х = 0 при t = 0. Два эти графика должны покрывать один и тот же временной интервал и иметь одинаковый масштаб по оси времени. (3 балла.)

 

2 (15 баллов). На рисунке показан длинный тонкий стержень прямоугольного сечения, масса которого M и длина l известны. К верхнему концу стержня прикреплена ось, вокруг которой он может вращаться. Стержень сделан из материалов различной плотности, а центр его масс расположен на известном расстоянии х от оси вращения. Определите момент инерции этого стержня I_b относительно прикреплённой к нему оси вращения. Отвечая на вопросы, можно использовать I_b, а также приведённые выше величины и фундаментальные константы.

a) i. Используя соответствующее уравнение для вращательного движения стержня, напишите дифференциальное уравнение для угла θ между стержнем и вертикалью. (4 балла, )

ii. Для уравнения, выведенного в п. i, используйте аппроксимацию для малых углов и вычислите период Т малых колебаний стержня. (4 балла, )

b) Опишите эксперимент, который можно было бы провести, чтобы определить величину I_b и при этом ошибка эксперимента была бы минимальной. (5 баллов.)

с) Опишите эксперимент, необходимый для определения положения центра масс стержня, если оно неизвестно, и оборудование, требуемое для проведения этого эксперимента. (2 балла.)

 

3 (15 баллов). Брусок массой М/2 сначала покоится на горизонтальной поверхности стола, двигаться по которой он может без трения (см. рисунок). Этот брусок соединён с помощью нити и блока, имеющего пренебрежимо малую массу, с другим бруском массой М/2, висящим на нити с другой стороны блока. Это устройство, состоящее из двух брусков, соединённых нитью, освобождают.

a) Выведите выражение для зависимости скорости υ_h висящего на нити бруска от расстояния d, на которое он опустился (см. рисунок). (4 балла, .)

Пусть теперь система из брусков и блока заменена на однородный канат длиной L и массой М, чуть-чуть свисающий с края стола, по которому он может двигаться без трения. Канат освобождают, и через некоторое время длина его свисающей части становится равной y, см. рисунок. Ответьте на вопросы b–d в общем виде, используя y, L, M и фундаментальные константы.

b) Выведите выражение для зависимости силы тяжести F_g, действующей на свисающую часть каната, от y. (2 балла, )

с) Выведите выражение для зависимости работы W, совершённой силой тяжести над канатом, от y, считая, что сначала y = 0. (3 балла, )

d) Выведите выражение для зависимости скорости υ_r каната от y. (3 балла, )

Пусть свисающий брусок и правая часть каната падают на расстояние L (длина каната). Нить имеет достаточную длину, и скользящий по столу брусок не ударяется о блок. Как соотносятся при этом υ_h из а и υ_r из d после того, как брусок и канат пройдут это расстояние?

____ υ_h больше ____ υ_r больше

____ скорости одинаковы

Обоснуйте свой ответ. (3 балла, одинаковы.)

Продолжение следует

---

^* Печатается по сайту kbogdanov4.narod.ru/EGE-in-USA.htm. В конце каждой задачи или её части в скобках указаны баллы за решение и ответ. – Ред.