Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Физика»Содержание №22/2009

Абитуриенту

В. П. Демков,
МАИ (ТУ), г. Москва;
В. В. Озолин,
МАИ (ТУ), г. Москва;
Г. Э. Солохина,
МАИ (ТУ), г. Москва

МАИ-2009: Российская аэрокосмическая олимпиада

МАИ

Билет 1

1. Две материальные точки равномерно движутся по окружностям, лежащим в одной плоскости и имеющим общий центр. Радиус первой окружности R1 = 3 см, радиус второй R2 = 5 см. При движении в одну сторону они оказываются в точках, принадлежащих одному диаметру, через каждые t1 = 6 c, при движении в разные стороны – через каждые t2 = 3 c. С какими скоростями движутся точки? Рассмотрите возможные случаи.


Дано:

R1 = 3 см,

R2 = 5 см,

t1 = 6 c,

t2 = 3 c.

Решение

Так как точки движутся по разным окружностям, решение задачи удобно проводить в угловой координате φ, характеризующей угол поворота прямой, соединяющей центр окружности и рассматриваемую точку в любой момент времени.

Предположим, что в начальный момент времени обе точки имели значение координаты φ0 = 0. Тогда к моменту времени t1 координаты первой и второй точек будут равны

φ1 = ω1t1; φ2 = ω2t1,

где ω1, ω2 – угловые скорости первой и второй точки.

Согласно условию задачи, в этот момент времени разность координат точек должна стать равной π (см. рис. а), т.е.

φ1 – φ2 = π, или (ω1 – ω2) · t1 = π.

рис.1

Аналогично для случая, когда точки движутся в противоположных направлениях (рис. б), можно записать

φ1 + φ2 = π; (ω1 + ω2) · t2 = π.

Решая систему уравнений, получаем

формула1

Соответственно линейные скорости точек равны

формула2

Существует и ещё одно решение. В случае, если точка 1 движется по окружности радиуса R2 и, наоборот, точка 2 движется по окружности радиуса R1, получаем

формула3

υ1 = ?

υ2 = ?

 

рис.2

2. Клин с углом наклона α = 30° находится на столе. На наклонной плоскости клина расположен брусок, удерживаемый от соскальзывания нитью, переброшенной через легкий блок. С какой силой F следует тянуть за нить в горизонтальном направлении, чтобы брусок не перемещался по клину? Масса клина M = 1 кг, масса бруска m = 0,5 кг. Трения в системе нет.


Дано:

α = 30°,

M = 1 кг,

m = 0,5 кг.

Решение

рис.3

Расставим силы, действующие на брусок и клин, и выберем инерциальную систему отсчёта XY, как показано на рисунке. Запишем уравнения движения бруска и клина:

ma = Fcosα – N1sinα, (1)

0 = Fsinα + N1cosα – mg, (2)

Ma = FFcosα + N1sinα, (3)

0 = N2MgN1cosα – Fsinα. (4)

Следует заметить, что уравнение (4) для решения задачи нам не потребуется. Итак, имеем систему трех уравнений (1)–(3) с тремя неизвестными: α, F и N1.

Выразим из уравнения (1) ускорение

формула4

и подставим его в (3):

формула5

Из уравнения (2) выразим N1: формула6 и подставим это выражение в (5):

формула7

Выражая из этого уравнения искомую силу F, окончательно имеем

формула8

F = ?

 

3. Поезд массой m = 2000 т при торможении с ускорением а = 0,3 м/с2 остановился спустя время τ = 50 с после начала торможения. Какое количество теплоты выделилось при торможении?


Дано:

m = 2000 т,

а = 0,3 м/с2,

τ = 50 с.

Решение

Согласно закону сохранения полной энергии, в тепло переходит вся кинетическая энергия, которую поезд имел к началу торможения: формула9

Начальную скорость υ определим из формулы кинематики для равнозамедленного движения

υaτ = 0; υ = aτ.

Окончательно получаем

формула10

Q = ?

 

4. Тело совершает гармонические колебания, при этом его скорость изменяется по закону υ = 12cos(8t) см/с. Найдите амплитуду колебаний тела.


Дано:

υ = 12cos(8t) см/с.

Решение

Запишем закон гармонических колебаний точки с начальной фазой, равной нулю:

x = Asinωt.

Здесь х – смещение точки от положения равновесия, А – амплитуда колебаний, ω – циклическая частота колебаний, t – время.

Из явного вида x(t) следует, что скорость точки в любой момент времени υ = x′ = Aωcosωt.

Сравнивая полученное выражение с заданным в условии задачи законом, получаем ω = 8 с–1; Aω = 12 см/с,

откуда и находим искомое значение амплитуды колебаний

формула11

A = ?

 

рис.4

5. В прямоугольном сосуде с дном в виде квадрата со стороной а = 2,5 см находится некоторая масса газа при температуре Т1 = 300 К и давлении p1 = 1,5 · 105 Па. Сосуд закрыт крышкой, которая герметично прижимается к стенкам сосуда под действием силы тяжести, масса крышки М = 20 кг. До какой температуры Т2 надо нагреть газ в сосуде, чтобы он начал выходить, приоткрыв крышку? Атмосферное давление p0 = 105 Па.


Дано:

а = 2,5 см,

Т1 = 300 К,

p1 = 1,5 · 105 Па,

М = 20 кг,

p0 = 105 Па.

Решение

рис.5Рассмотрим равновесие крышки сосуда. На неё действуют четыре силы: тяжести (Mg), сила атмосферного давления (|Fатм| = p0S), сила давления газа, находящегося внутри сосуда, (|F| = pS) и сила реакции со стороны стенок сосуда N.

Когда крышка приподнимается, сила реакции стенок N = 0, а давление газа в сосуде p = p2.

Запишем для этого случая равенство сил в проекции на ось Y: F – Fатм Mg = 0, или p2Sp0S – Mg = 0, где S = а2 – площадь крышки. Отсюда выразим давление, которое необходимо для поднятия крышки сосуда:

формула12

Теперь применим уравнение Клапейрона–Менделеева для начального и конечного состояний газа в сосуде:

p1V = νRT1;

p2V = νRT2.

Разделив эти уравнения друг на друга, получаем:

формула13

Т2 = ?

Продолжение следует