Задачи, тесты

Позвольте уточнить

В № 4/2009 моё внимание привлекли два материала, в которых трактуются вопросы, выходящие за рамки традиционного школьного курса. Обе эти публикации по-своему очень интересны, но мне показалось необходимым сделать несколько замечаний, уточняющих и дополняющих некоторые утверждения авторов. Очень прошу коллег перед чтением предлагаемых заметок перечитать обсуждаемые материалы, а ещё лучше иметь их под рукой.

1. Что же такое капилляр?

В заметке Б.В.Дроздова «Скоро ли сдуется пузырь?» автор предлагает своё решение задачи об истечении воздуха из мыльного пузыря, при этом в постановке задачи неоднократно употребляет термин «капилляр», но ничего не говорит о том, как он понимает этот термин.

Словарь русского языка не решит наших проблем, но всё же начнём с него. Вот что пишет словарь: «Капилляр – трубочка с очень узким внутренним каналом». Ну что же, согласимся. Надо только уточнить, насколько узким. Когда в физике говорят, что какая-то величина мала, то речь всегда идёт о том, что она мала по сравнению с другой (однородной) величиной. Конечно, канал можно называть узким, когда мало отношение радиуса канала к его длине. А чем меньше радиус канала и чем больше его длина, тем больше роль сил вязкости в течении. Так вот, когда в физике говорят о течении в капилляре, то всегда имеется в виду, что трение газа о стенки играет определяющую роль в течении газа. И в ответ задачи об истечении через капилляр обязательно войдёт вязкость воздуха и длина капилляра. Автор же рассматривает противоположный случай, когда работа сил вязкости вообще не учитывается.

Так что напрасно автор упоминает задачу академика П.Л.Капицы. По сути, в заметке решается задача об истечении воздуха через малое отверстие. Хорошая задача! Спасибо автору заметки за представленное решение! Только к истечению через капилляр эта задача не имеет никакого отношения.

И напрасно автор ссылается на авторитет известного задачника [1], – там-то всё правильно. К задаче о времени истечения воздуха через капилляр (т.е. узкую длинную трубку) там приведён совсем другой ответ (задача 516): где η – коэффициент вязкости воздуха, l и r – длина и радиус трубки соответственно, σ –коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора, R₀ – начальный радиус пузыря. Если взять в этих двух задачах одинаковые r, σ и R₀, время истечения через капилляр будет примерно на порядок больше, чем через отверстие.

Замечу, что рассмотренная автором задача едва ли пригодна для обсуждения с учениками. И дело не только в применяемой математической технике. Решение опирается на весьма существенные упрощающие физические предположения, к сожалению, автором в явном виде не высказанные. Так что сначала их надо будет выявить, а потом проконтролировать их выполнение. А это довольно трудно, ещё труднее – объяснить классу. Ну, как, например, можно доказать, что уменьшение поверхностной энергии мыльной плёнки идёт именно на приращение кинетической энергии истекающего воздуха, а не на увеличение внутренней энергии плёнки? А ведь это – главное предположение автора. Ещё учеников, наверное, удивит, что воздух рассматривается как несжимаемая жидкость.

Заметим в заключение, что термин «капиллярность» используется в физике (и даже чаще) в другом смысле: когда надо подчеркнуть определяющую роль сил поверхностного натяжения в каком-то явлении. Этим термином описывают явления подъёма воды в узких каналах и зазорах. Этим термином описывают волны на поверхности жидкости, обусловленные поверхностным натяжением (а не силой тяжести). Для волн на поверхности воды капиллярными оказываются волны с длиной волны, меньшей примерно 1,5 см.

2. Об излучении диполя Герца

В статье В.В.Майера «Электромагнитная волна» представлен урок в 11-м профильном классе. После описания опытов с излучением диполя автор переходит к теоретическому анализу этих вопросов.

Сначала исследуется поле заряда, движущегося с ускорением. Автор получает, что «модуль поперечной составляющей напряжённости электрического поля» равен (формула 3.2, все обозначения общепринятые). К сожалению, нигде в тексте не отмечено, что эта формула справедлива лишь для направления, перпендикулярного направлению движения заряда (хотя это обстоятельство видно на рисунке).

Пойдём дальше. Приглядимся к главному результату автора – уравнению волны, распространяющейся от колеблющегося заряда: (формула 3.7).

Какой смысл может иметь формула, в которой слева стоит, как указано выше, модуль (!) какой-то величины, а справа – знакопеременная функция? Конечно, слева в этой формуле должна стоять проекция вектора E на направление, перпендикулярное направлению распространения волны.

Далее автор переходит к графическому описанию поля излучения колеблющегося диполя. Скажем прямо, картина линий векторов E и В для поля излучения диполя приводится во многих курсах общей физики и электродинамики и она не имеет ничего общего с рисунками 3.4, а, б в обсуждаемой статье. В частности, линии вектора В представляют собой просто концентрические окружности с центром на оси диполя (не будем сейчас это обсуждать).

Вернёмся к рис. 3.4, а, б. Действительно, такие рисунки часто дают в учебниках невысокого уровня для наглядного представления полей в электромагнитной волне. Но эти рисунки обманчиво просты и наглядны. Они обладают бросающимся в глаза дефектом. Хорошо видно, что почти во всех точках у векторов E и В есть и продольные составляющие. Что это значит?! Это значит только одно: эти рисунки надо забыть раз и навсегда! Да, реальная картина линий векторов E и В в бегущей электромагнитной волне довольна сложна. Но стоит ли на этом основании использовать откровенно некорректные рисунки?

Попробуем продвинуться немного дальше. Проведя рассуждения, аналогичные проведённым в статье в п. 3.3, можно найти поперечную составляющую электрического поля и для направления, составляющего произвольный угол a с направлением движения заряда. Приведём сразу результат: оказывается, что в этом случае в правой части формулы (3.2) появляется множитель sinα.

Теперь перейдём к излучению диполя. Диполь, напомним, характеризуется дипольным моментом p. Вокруг диполя существует электростатическое поле, величина напряжённости этого поля при удалении от диполя уменьшается как r^–3 (см., например, [2]). Мы рассматриваем ситуацию, когда величина дипольного момента р = ql колеблется по гармоническому закону (l – расстояние между зарядами диполя). Такую систему обычно называют диполем Герца. На малых расстояниях от диполя поле будет успевать подстраиваться под текущее значение р. То есть здесь мы будем иметь (как ни странно это звучит) переменное электростатическое поле. Нас же интересует вихревое поле. Амплитуда напряжённости вихревого поля спадает с расстоянием, как мы уже знаем, как r^–1, и поэтому на больших расстояниях оно будет преобладать. Характерным пространственным масштабом в этой задаче является длина волны λ . Так что ниже речь идёт о вихревом поле E на расстояниях r ≫ λ.

Мы уже знаем о поперечной составляющей этой волны очень много: она отличается знаком в точках, отстоящих на λ/2, она зависит от угла по закону синуса, её амплитуда меняется с удалением от диполя, как r^–1. Всё это и использовано при построении рисунка. Теперь вид линий вектора E уже не должен вызывать сомнений.

Заметим, что волновые фронты излучения диполя являются сферами (и в этом смысле волну можно называть сферической), но сферической симметрией волна, конечно, не обладает. Максимум излучения приходится на направление α = 90°. Диполь Герца не просто интерес ный пример излучающей системы, его роль очень велика. «Всякую реальную излучающую систему можно мысленно разложить на элементы тока, каждый из которых излучает, как диполь Герца. Путём суммирования электромагнитных полей таких элементов можно получить электромагнитное поле всей излучающей системы» [3, с. 627].

 

Литература

1. Сборник задач по общему курсу физики. Термодинамика и молекулярная физика: Под ред. Д.В.Сивухина. – М.: Наука, 1976.
2. Рыбаков А.Б. Диполь в поле и поле диполя. – Физика-ПС, 2008, № 22.
3. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 3 «Электричество». – М.: Наука, 1977.

 

Уточним уточнение

Очень признателен своему оппоненту за внимательное прочтение материала, но сразу скажу, что с его замечаниями трудно согласиться. Ответы удобно давать по абзацам.

1. Текстовая и графическая информация модели урока представляет единое целое, поэтому формула (3.2) получена корректно. Рассматривать на непростом для школьников уроке более общий случай нет необходимости, тем более что он неоднократно анализировался в школьных учебниках повышенного уровня и с методической точки зрения небезупречен.

2. Уравнение волны (3.7) не является «главным результатом автора», – оно всем известно.

3. Нет никакой нужды всякий раз вместо, например, «ускорения» (3.4) говорить «проекция ускорения», если из контекста ясно, о чём идёт речь. Никакой ошибки или неточности в формуле (3.7) и способе её получения нет: она получена из (3.2) простой подстановкой в неё (3.4). Нигде не говорится, что в формулах (3.2) и (3.4) модули ускорения. Значит, утверждение, что в (3.7) слева стоит модуль, на совести оппонента. Из текста он понял, что в (3.7) слева – не модуль, следовательно, это понимает и любой другой читатель.

4. Вопреки утверждению оппонента автор ни в коем случае не «переходит к описанию поля излучения колеблющегося диполя» – оно общеизвестно, – но в этой модели урока по дидактическим соображениям не рассматривалось.

5. Рисунки 3.4 а, б для школьников отнюдь не «обманчиво просты и наглядны», нужны определённые усилия, чтобы в них разобраться. На этих рисунках представлено не поле излучения диполя, а показано изменение электрического и магнитного полей, порождающее волновой процесс вдоль определённого направления. Анализ этих рисунков приводит к привычному изображению электромагнитной волны (рис. 3.4, в) и к пониманию того, что в ней электрический и магнитный векторы изменяются синфазно. Что касается продольных составляющих электрического и магнитного полей, то вдалеке от диполя их, конечно, нет, поскольку рядом с выбранной для рассмотрения точкой A (рис. 3.4) имеются и другие точки, в которых происходят аналогичные процессы, в результате чего остаётся поперечная сферическая волна. Оппонент, разумеется, может обсуждаемые рисунки «забыть раз и навсегда», но всем остальным делать это ни к чему.

6. «Попробуем продвинуться немного дальше». Нет, мы этого делать не будем, – все остальные рассуждения оппонента (а их ещё полстраницы) физически тривиальны, не содержат ничего нового с точки зрения методики, по ним невозможно добиться понимания сущности рассматриваемых явлений, поэтому лучше обратиться к нормальным вузовским учебникам физики и электродинамики.

В заключение еще раз благодарю А.Б.Рыбакова за внимание к моделям уроков по электромагнитным волнам и желаю ему дальнейших успехов в деле физического образования молодёжи!

Проф. В.В.Майер,
ГПИ им. В.Г.Короленко, г. Глазов, Удмуртская Респ.