Задачи, тесты

Как мнимые караси становятся действительными

Прочитал в № 4/2009 реплику А.Б.Рыбакова «Едят ли мнимые щуки мнимых карасей?» на статью А.А.Найдина «Математические модели развивают мышление!» (№ 12/2008) и не смог промолчать. С одной стороны, я согласен с выводом автора о необходимости строить модели, в какой-то степени адекватные реальности, без мнимых щук-карасей. С другой стороны, сказав «а», надо сказать и «б». Вывод классической модели «хищник–жертва» достаточно прост (см., например, [1]), и мне кажется правильным привести его, чтобы закрыть дискуссию с пользой для читателей «Физики».

Самая простая модель изменения численности уединённой популяции (модель Мальтуса) описывает неограниченный рост популяции при условии избыточности ресурсов. Например, если карасям хватает пищи и они не имеют врагов, численность вида N₁ будет описываться уравнением

где α₁ – постоянный положительный коэффициент прироста (понятно, что чем больше особей имеется, тем больше прирост их численности за данный промежуток времени). Нетрудно догадаться, что при отсутствии карасей уравнение, описывающее численность популяции щук N₂, будет иметь вид

где α₂ – постоянный положительный коэффициент «вымирания». Решения этих уравнений – экспоненциальный рост популяции карасей и экспоненциальное убывание популяции щук.

Модель Вольтерра–Лотки описывает простейшее взаимодействие двух популяций: численность щук увеличивается, а численность карасей уменьшается пропорционально частоте их столкновений, которая в свою очередь пропорциональна произведению N₁N₂. Тогда получим вместо (1) и (2) систему уравнений

где β₂ и β₁ – постоянные положительные коэффициенты, описывающие, соответственно, гибель карасей из-за встреч с хищниками и прирост числа хищников из-за «улучшенного питания».

Дальше анализ системы является стандартным. Для начала найдём положение равновесия, зануляя производные:

Затем получим уравнения для малых отклонений от состояния равновесия:

пренебрегая слагаемыми с произведением n₁ n₂ и учитывая (4):

откуда, дифференцируя первое из уравнений (5) по времени и подставляя второе, получим:

Нетрудно видеть, что уравнения (6) – это уравнения линейного гармонического осциллятора с собственной частотой которая определяется только собственными параметрами каждой популяции и не зависит от коэффициентов β₁, β₂, от которых, впрочем, зависит положение равновесия популяций. Таким образом, с точностью до некоторого уточнения смысла переменных модель, предложенная А.А.Найдиным, вполне жизнеспособна. Очевидно также, что в линейной системе разрешёнными являются любые амплитуды колебаний, в том числе большие, приводящие к появлению «мнимых щук и карасей», однако в этом случае надо решать «честную» систему (3). А в нелинейной системе (3) возможны и более сложные колебания, например, при резком начальном отклонении численности одной из популяций от положения равновесия (например, из-за эпидемии).

А самое замечательное в таких системах то, что предсказать их поведение «на пальцах» не получается. Примером может служить дискретный аналог уравнения, описывающего динамику популяции в условиях ограничения ресурсов, – дискретное уравнение Ферхюльста (см., например, [2]):

где N_k – численность популяции в k-й год, R – положительная постоянная, описывающая скорость роста популяции. Почти 150 лет считалось, что единственными вариантами решений при разных значениях R являются вымирание популяции или стабилизация её численности; впоследствии оказалось, что это примитивное, на первый взгляд, уравнение обладает огромным разнообразием решений, от простых (стационарных и периодических) до многопериодических и хаотических. Впрочем, это тема для отдельной дискуссии, далеко выходящая за рамки моего отклика на публикации.

 

Литература

1. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. – М.: Наука, 1984.
2. Шустер Г. Детерминированный хаос. – М.: Мир, 1988.