Задачи, тесты

Едят ли мнимые щуки мнимых карасей?

В № 12/2008 опубликована небольшая статья «Математические модели развивают мышление!». Автор предлагает нам свою модель совместной жизни в пруду карасей и щук. Он предполагает, что «скорость изменения количества щук в водоёме пропорциональна количеству карасей, а скорость убывания количества карасей пропорциональна количеству щук».

Пусть х обозначает количество карасей, у – количество щук в пруду, а t, как обычно, – время. Тогда высказанные предположения можно математически записать в виде системы уравнений:

где k₁ и k₂ – постоянные коэффициенты, смысл и значения которых мы сейчас не будем выяснять. Решая эту систему уравнений, автор получает, что х и у будут меняться со временем по гармоническому закону. Однако он не замечает, что при гармоническом колебании количество каждого вида рыб в пруду должно принимать отрицательные значения! Что это значит?!

О Поле Дираке рассказывают, что однажды в юности, решая задачу о дележе добычи между рыбаками, он нашёл решение, в котором число рыб, доставшихся одному рыбаку, было отрицательным. Так что у нашего автора был великий предшественник. Действительно ли и наш автор хотел ввести в рассмотрение отрицательное число карасей? И как нам таких карасей (а впрочем, и щук) называть?

Предлагаю называть таких рыб мнимыми. Так и будем говорить: «В пруду, мол, минус 100 мнимых карасей и минус 20 мнимых щук». А что? Ученикам понравится. Если же говорить серьёзно, то никакой реалистической математической модели на вышеприведённых уравнениях не построить. Ибо в первом уже заложено, что количество щук не может убывать, а во втором, наоборот, что количество карасей не может возрастать. Сразу ясно, что после истечения некоторого промежутка времени в пруду установится стационарное состояние с полным отсутствием карасей и неизменным количеством щук.

Если автор хочет получить колебания численности объектов (которые действительно имеют место в системах хищники–жертвы), он должен был бы учесть в соответствующих уравнениях (хотя бы в одном) и члены, отвечающие за рост популяции, и члены, описывающие механизмы гибели объектов. Такие колебания возможны не только в сообществах живых организмов, но и, например, в химически реагирующих смесях. И тогда математические модели будут действительно развивать мышление.