Спецвыпуск

Физические задачи с астрономическим содержанием

Одной из форм реализации межпредметных связей является решение задач астрономического содержания, по сути, являющихся физическими. Это задачи на падение тел в поле силы тяжести, вес тела, движение тел, брошенных параллельно к горизонту и под углом к нему, на вычисление первой и второй космических скоростей, распределение плотности в атмосфере с высотой и др. Можно наполнять астрономическим содержанием и задачи, связанные с зависимостью температуры кипения от давления, распространением луча света в атмосферах планет, использованием законов фотометрии и др.

Приведём несколько примеров таких задач с различных этапов астрономических олимпиад. Они могут предлагаться в классе после изучения нового материала по указанной теме, задаваться на дом с последующим обсуждением на уроке во время закрепления нового материала, а также включаться в комплект олимпиадных заданий районного и городского уровней.

1 (Механика). За какое минимальное время можно облететь Марс?

Решение. Для этого надо двигаться с первой космической скоростью по орбите минимальной высоты (с радиусом, практически равным радиусу Марса): υ₁²= GM/R, где G – гравитационная постоянная, M и R – масса и радиус планеты соответственно. Подставляя численные значения, получим υ₁ = 3,54 км/с. Путь, равный длине окружности радиусом R, спутник пролетит за время t = 2πR/υ₁ = 6,28 · 3395/3,54 ≈ 1 ч 40 мин.

2 (Механика). Во время путешествия по Марсу космонавт обронил в небольшую впадину компас. Чтобы достать его, он бросил туда камень и определил, что до дна компас летел 3 с. В его распоряжении был прочный шнур длиной 5 м. Хватит ли длины шнура, чтобы опуститься на дно впадины? На узлы уйдёт 0,5 м. Масса Марса 6,39 · 10²³  кг.

Решение. Путь s, проходимый телом при свободном падении, равен 0,5gt², где t – время падения, а g – ускорение свободного падения. На Марсе g = GM/R² = 3,7 м/c², поэтому s = 0,5 · 3,7 · 3² м = 16,6 м. Шнура не хватит.

3 (Механика). С какого расстояния можно обнаружить наличие у Солнца планетной системы, если аппаратура у воображаемой цивилизации способна зафиксировать отклонения в положении Солнца на небе с точностью до 0,01″. Считать, что основными телами, возмущающими движение Солнца, являются Юпитер и Сатурн. Расстояния от планет до Солнца и их массы равны соответственно 5,2 и 9,5 а.е.; 1,9 · 10²⁷ и 5,7 · 10²⁶ кг.

Решение. Извне о существовании планет около Солнца можно судить по изменению положения светила среди звёзд. Эти отклонения максимальны, если планеты находятся по одну сторону от Солнца. Положение центра масс системы найдём по формуле

х_ц = (х₁m₁ + х₂m₂ + х₃m₃) : (m₁ + m₂ + m₃),

в которой индексы i = 1, 2, 3 относятся соответственно к Солнцу, Юпитеру и Сатурну, а х_i – расстояние от тела до центра Солнца. Можно принять, что х₁ = 0, поэтому х_ц= 1,15 · 10⁶ км. Расстояние r, с которого этот отрезок виден под углом в 0,01″, находится из пропорции

(360 · 3600): 0,01″ = 6,28 r : х,

т.е. искомое расстояние равно 0,77 пк. Напомним, что ближайшая к нам звезда Проксима Центавра находится на расстоянии от нас 1,3 пк. С неё нельзя обнаружить смещение Солнца.

4 (Термодинамика). Определите, на сколько повысится температура Земли, если на неё упадёт тело, масса которого равна марсианской (0,64 · 10²⁴ кг). Удельную теплоёмкость вещества Земли и Марса принять равной 4,2 · 10³ Дж/(кг · К).

Решение. Будем считать, что тело падает на Землю со второй космической скоростью, столкновение неупругое, теплоотдачей в окружающее пространство пренебрегаем. Пусть m_з и m_т – масса Земли и тела соответственно, υ_т – скорость падения тела на Землю, υ – общая скорость планет после столкновения, с – теплоёмкость вещества, ∆T – изменение температуры.

По закону сохранения импульса: m_тυ_т = (m_з + m_т )υ.

По закону сохранения энергии:

Отсюда вычисляем энергию, пошедшую на нагрев Земли: и находим, на сколько нагреется Земля: ∆T = 1300 К.

5. Как изменится температура Земли, если Солнце всё покроется пятнами? (Излучения и волны.)

Решение. Температура солнечных пятен равна 4700 К, а температура фотосферы Солнца 6000 К, значит, светимость Солнца изменится в (6000 : 4700)⁴ = 2,66 раза (исходим из определения светимости как количества энергии, которое излучает тело в космическое пространство за секунду). Значит, на единицу поверхности Земли будет поступать энергии от Солнца в 2,66 раз меньше. Сейчас средняя температура Земли 288 К, следовательно, снизившись в раз, она станет равной 288 К : 1,28 = 225 К, или –48° С.

6 (Квантовая механика). В осетинском сказании о нартах говорится:

Свершилось вдруг неслыханное чудо:
Взошли два солнца в небе изумрудном…
И треснула тогда земля от жара,
Охваченная солнечным пожаром.

Как изменится температура Земли, если на небе будут светить два Солнца?

Решение. Пусть L – светимость Солнца, r – расстояние до Земли от Солнца. Тогда на единичную площадку, расположенную перпендикулярно солнечным лучам на Земле, падает энергия Эта площадка поглощает солнечное излучение и переизлучает его, нагреваясь до температуры, определяемой соотношением E = σT⁴. Поскольку светимость Солнца, по определению, есть количество энергии, которое оно излучает в космическое пространство за 1 с, то L = 4πR₀²σ T₀⁴, откуда Величина А – альбедо, которое указывает, какая часть солнечной энергии отразилась от поверхности планеты (1–А – это доля поглощённой энергии). Но если на небе будет светить n Солнц, то количество энергии, доходящее от них на Землю, увеличится тоже в n раз, и температура станет равной а отношение температур T/T_n изменится в раз.

Если температура Земли в подсолнечной точке равна 295 К, то при двух солнцах она станет 351 К, т.е. почти на 60 К выше.

Примечание. Возможно более простое решение, без вывода общей формулы. Для этого запишем выражения для энергий излучения единичных площадок: E = σT₁⁴ и 2E = σT₂⁴, – и получим

7 (Механика). Во время полёта к будущему месту обитания представителей земной цивилизации космонавты совершили вынужденную посадку на планете. После ремонта они обратились к компьютеру и узнали, что горючего у них хватит, чтобы развить скорость 4 км/с. Смогут ли они покинуть планету, если её масса и размеры в 10 раз меньше земных? (Движение по окружности.)

Решение. Следует определить вторую космическую скорость для этой планеты по формуле и сравнить её со скоростью υ = 4 км/c. Если υ > υ_II, то дальнейшее путешествие возможно. Подставляя числовые данные, получим, υ_II = 11,2 км/с, так что космическим путешественникам надолго придётся задержаться на планете.

8 (Механика). На экваторе Луны установили башню высотой 300 м для изготовления шариков идеальной сферической формы. Капельки жидкого металла будут вытекать из сопла аппарата и падать отвесно, застывая. Приёмное устройство дробинок инженеры устроили точно под соплом. Когда всё было готово, то, к своему удивлению, они обнаружили, что дробинки туда не попадают. Как следует изменить положение приёмника готовой продукции? Ускорение свободного падения на Луне 1,62 м/с.

Решение. Из-за вращения Луны падающие тела смещаются к востоку (в сторону её вращения). Смещение точки А за 1 с падения найдём как разность скоростей движения точек А и С, т.е. где R и P – соответственно радиус Луны и период её вращения.

Осталось найти время падения дробинки с высоты 300 м на Луне (по формуле s = gt²/2) : t = 19 с.

Значит, приёмник дробинок надо перенести на 1,9 см/c · 19 c = 36,5 см.

9 (Механика). Звезда Плейона из рассеянного скопления Плеяды вращается в 100 раз быстрее Солнца. Температура звезды около 13 000 К, а светимость почти в 200 раз больше солнечной. Не теряет ли она вещество из области экватора?

Решение. Определим размеры звезды, используя данные о светимости и температуре. Исходим из определения светимости как общего количества энергии, которое звезда излучает в космическое пространство за 1 с: L = 4πR²σ T⁴, где 4πR² – площадь поверхности звезды, σ T⁴ – количество энергии с единицы поверхности (закон Стефана–Больцмана): 200R_C² = R² (13 000/5780)⁴, где 5780 К – температура Солнца. Отcюда R = 2,8R_C.

Скорость вращения Солнца на экваторе – около 2 км/с (радиус 690 000 км, υ = 2πR : 25 сут), а скорость вращения Плейоны 400 км/с. Массу звезды найдём по соотношению масса–светимость lgL = 3,9 lgM, подставив числовые данные: lg200 = 2,3 = 3,9 lgM ⇒ М = 3,9M_C.

Запишем отношение силы тяготения к центробежной силе для тела на экваторе звезды:

Если это отношение больше 1, то истечения вещества нет, если меньше 1, то звезда теряет вещество. Подставляя числовые данные, получаем, что отношение равно 2, значит, сила тяготения больше центробежной, и истечения вещества нет.

10 (Квантовая механика). Инопланетяне сели на одну из планет Солнечной системы. Через некоторое время они обнаружили, что температура планеты в той точке, где Солнце находится в зените, меняется от 560 до 690 К. Определите эксцентриситет орбиты. Какая планета имеет такую орбиту?

Решение. Температура планеты определяется количеством энергии, которое падает на единицу поверхности, а это количество обратно пропорционально квадрату расстояния до Солнца. Более высокая температура должна соответствовать и более близкому расстоянию планеты от Солнца Q = а_ср (1 – е), где е – эксцентриситет. Самая низкая температура соответствует максимальному расстоянию q = а_ср (1 + е).

Используя закон Стефана–Больцмана, можно записать:

Такой эксцентриситет у орбиты Меркурия, да и высокие температуры характерны тоже для него.

11 (Механика). Экспедиция по поискам пригодной для жизни землян планеты натолкнулась на объект размером 1000 км и высадилась на нём. На планете оказалась кислородная атмосфера. Радости не было предела, поскольку и температура оказалась приемлемой – 300 К. Не огорчились ли они через некоторое время, узнав, что маятник длиной 1 м совершает одно колебание за 5 с?

Решение. Членам экспедиции следовало убедиться в том, что атмосфера планеты стабильна, т.е. что она не улетучится через небольшой промежуток времени. Для её длительного существования необходимо, чтобы средняя тепловая скорость движения молекул была в несколько раз меньше второй космической скорости для планеты (υ_т < 0,2υ_II). Зная время колебания маятника, определяем ускорение свободного падения на планете g = 1,58 м/с², затем находим массу планеты: g = GM/R² ⇒ m = 2,37·10²¹ кг, – а затем и вторую космическую скорость: υ_II = 0,56 км/с.

Средняя тепловая скорость равна 0,68 км/с, что больше υ_II, следовательно, атмосфера планеты не стабильна.

12 (Квантовая механика). Какой станет температура фотосферы звезды после слияния двух звёзд, таких как Солнце? Принять, что радиус такого объекта в 1,7 раза больше солнечного.

Решение. Используем зависимость светимости звезды главной последовательности от её массы L = kM⁴, которую применяем для «старого» и «нового» Солнца:

По определению светимости звезды,

Подставив числовые данные, получим Т_н = 8831 К.

13 (Механика). На какое расстояние надо удалиться от поверхности Земли в сторону Луны, чтобы сила притяжения к Земле стала такой же, как сила притяжения к Луне? Известно, что масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а радиус составляет 0,27 земного.

Решение. Запишем силы, с которой Земля и Луна притягивают одно и то же тело массой m:

Здесь x и r – x – расстояния от Земли и Луны до этой точки соответственно; r – расстояние между Луной и Землёй.

Подставляя числовые данные, находим x = 34 5000 км, а h = x – R_З = 339 200 км.

14 (Квантовая механика). В скоплении содержится по 10 звёзд главной последовательности с температурой 6000 и 10 000 К. Объектом какой температуры будет наблюдаться скопление как единое целое, если с расстояния 1000 пк оно видно под углом 1″? Воспользоваться эмпирической зависимостью между температурой и радиусом звёзд: R = 2,13 ·10⁴ м/К · Т^1,25 К.

Решение. Размеры объекта равны 1000 а.е., т.к. отношение его размера АВ к расстоянию r есть tg1″ = 1 : 206265.

Используем определение светимости как произведения площади поверхности звезды 4πR² на количество энергии, излучаемой единицей поверхности с температурой Т, равное, по закону Стефана–Больцмана, σТ⁴.

Поскольку энергия от всех объектов складывается и воспринимается как излучение от одного объекта размером АВ, то имеет место равенство:

10 · 4π · σ · (2,13 · 10⁴)²· [6000^2,5 · 6000⁴ + 10 000^2,5 · 10 000⁴] = 4π (500 а.е. · 1,5 · 10¹¹)² σ Т⁴ ⇒ Т ≈ 9500 К.