Абитуриенту

МГУ-2008: Дистанционная олимпиада «Шаг в физику»

10-й класс

Продолжение. См. № 4/09

1 На горизонтальном столе находится подвижный клин массой M = 1 кг с углом α = 30° при основании. На клин кладут брусок массой m = 2 кг, после чего оба тела начинают движение из состояния покоя. Найдите модуль скорости υ, которую будет иметь брусок относительно клина в момент, когда его высота над поверхностью стола уменьшится на величину h = 10 см по отношению к первоначальной. Трение между всеми поверхностями не учитывайте. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с².

Решение

Пусть u – скорость клина, υ – скорость бруска относительно клина, V – скорость бруска относительно стола. По закону сложения скоростей: V = u + υ. По теореме косинусов (см. рисунок): V² = u² + υ² – 2uυ cosα. По закону сохранения энергии:

По закону сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось (см. рисунок):

Mu = mV_x = m(υ cosα – u). Отсюда

Подставляя скорость клина в выражение для закона сохранения энергии, приходим к равенству:

 

2 Колесо радиусом R катится без проскальзывания по горизонтальной дороге с ускорением a. Какие ускорения относительно неподвижной системы отсчёта имеют точки A и B, расположенные на горизонтальном диаметре колеса в тот момент, когда скорость центра колеса равна υ?

Решение

В системе отсчёта, связанной с центром колеса, все точки на ободе движутся по окружности радиусом R. Так как качение происходит без проскальзывания, модуль тангенциального ускорения точек на ободе колеса a_τ = a, а модуль нормального ускорения этих точек a_n = υ²/R. При переходе к неподвижной системе отсчёта к ускорению каждой точки нужно прибавить ускорение центра колеса. В результате для точек A и B получаем ответ:

 

3 С каким максимальным ускорением может тронуться с места автомобиль с задними ведущими колесами, если коэффициент трения между шинами и асфальтом μ = 0,5? Расстояние между передней и задней осями автомобиля L = 4 м, а его центр тяжести расположен посередине между осями на расстоянии h = 0,8 м от дороги. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с².

Решение

Автомобиль движется под действием сил, изображённых на рисунке, где Mg – сила тяжести, N_з и N_п – нормальные составляющие сил взаимодействия задних и передних колёс автомобиля с дорогой соответственно, F_тр – сила трения покоя, приложенная к задним (ведущим) колёсам. Перейдём в неинерциальную систему отсчёта, связанную с автомобилем, и запишем в этой системе уравнение моментов относительно центра масс автомобиля (точки O):

Замечание 1. В поступательно движущейся системе отсчёта суммарный момент сил инерции, действующих на автомобиль, относительно его центра масс равен нулю. Обоснование этого утверждения можно найти, например, в книге: Г.Я.Мякишев. «Физика: Механика: 9 кл.» Учеб. для углубленного изучения физики. – М.: Дрофа, 1997, § 7.8. Плоское движение твёрдого тела.

Уравнение движения автомобиля в неподвижной системе отсчёта имеет вид: Ma = F_тр. Учтём, что максимально возможное значение силы трения покоя (F_тр)_max = μN_з, и что N_п + N_з = Mg. Решая записанную систему уравнений, получаем ответ:

Замечание 2. Из полученного ответа формально следует, что, увеличивая коэффициент трения между шинами и дорогой, можно достичь сколь угодно большого ускорения автомобиля. В частности, при μ = L/h ответ даёт a_max = ∞. Однако на самом деле при увеличении ускорения автомобиля растёт нагрузка на задние колёса и одновременно уменьшается нагрузка на передние. Полагая в записанном выше уравнении моментов N_п = 0, находим, что это условие достигается при μ = L/(2h). В этом случае F_тр = μMg и a_max = μg = Lg/(2h). Дальнейшее увеличение ускорения автомобиля за счёт увеличения коэффициента трения невозможно, т.к. автомобиль опрокинется назад. Таким образом, полный ответ должен быть сформулирован в следующем виде:

 

4 Вертикально расположенный замкнутый цилиндрический сосуд высотой H разделён на две части подвижным поршнем. Первоначально в обеих частях сосуда содержалось одинаковое количество идеального газа. При этом расстояние между поршнем и дном сосуда составляло h₀. Чему станет равным расстояние h между поршнем и дном сосуда, если полностью откачать газ из верхней его части? Температуру газа считайте постоянной. Толщиной поршня и трением при его перемещении можно пренебречь.

Решение

Уравнения начального состояния газов в верхней и нижней частях сосуда имеют вид:

Здесь p – давление газа в верхней части сосуда, M – масса поршня, S – его площадь, ν – количество молей газа, R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура. Уравнение конечного состояния газа в нижней части сосуда Mgh = νRT. Решая записанную систему уравнений, находим, что

Проанализируем область применимости полученного результата. Учтём, что максимально возможное значение h ограничено высотой сосуда H, и найдём, при какой начальной высоте поршня h₀ его конечная высота будет равна H. Для этого положим в (*) h = H и получим квадратное уравнение относительно h₀, а именно h₀² – 3Hh₀ + H² = 0.

Поскольку h₀ ≤ 1/2H, имеет смысл меньший корень, т.е. Таким образом, ответ имеет вид

График зависимости приведён на рисунке.

5 В двух цилиндрических сосудах, расположенных вертикально, содержится по одному молю идеального одноатомного газа при одной и той же температуре. В левом сосуде, открытом сверху, газ сжат тяжёлым поршнем. В правом, герметично закрытом, сосуде газ находится под невесомым тонким поршнем, который удерживается в равновесии пружиной, помещённой между поршнем и крышкой сосуда. При этом длина недеформированной пружины равна высоте сосуда. В пространстве над поршнем создан вакуум. Оба сосуда нагревают до одной и той же конечной температуры. В каком из сосудов газ совершит бóльшую работу? Во сколько раз отличаются эти работы? Каково отношение количеств теплоты, сообщ ённых газам при нагревании? Трением при перемещении поршней можно пренебречь.

Решение

Нагревание газа в левом сосуде происходит при постоянном давлении. Как известно, молярная теплоёмкость идеального одноатомного газа при изобарном процессе С_p = (5/2)R, а совершаемая газом в этом процессе работа A = RΔT. Здесь R – универсальная газовая постоянная, ΔT – приращение температуры газа.

Для определения теплоёмкости газа в процессе, проводимом в правом сосуде, учтём, что сжатие пружины x совпадает с высотой поршня над дном сосуда. Поскольку давление газа p = kx/S пропорционально его объёму (p ~ V), прямая, изображающая график этого процесса на p–V-диаграмме, проходит через начало координат. Если обозначить через p₀, V₀ и T₀ начальные, а через p, V и T – конечные давление, объём и температуру газа, то p/V = p₀/V₀, и работа газа A = 0,5(p – p₀)(V – V₀) = 0,5(pV – p₀V₀) = 0,5R(T – T₀).

Изменение внутренней энергии газа ΔU = (3/2)R(T – T₀). По первому закону термодинамики, ΔQ = ΔU + A = 2R (T – T₀) = 2RΔT. Из определения теплоёмкости C = ΔQ/ΔT находим, что молярная теплоёмкость газа в процессе, проводимом в правом сосуде, C = 2R. Таким образом, получаем, что бóльшую работу при нагревании совершит газ в левом сосуде. Отношение работ, совершённых газами, А_лев/А_прав = 2, а отношение количеств теплоты, сообщённых газам, Q_лев/Q_прав = 1,25.

Продолжение следует