Задачи XI Астрономической олимпиады стран СНГ – XLI Олимпиады ННЦ

Окончание. Начало (условия задач) см. в № 5/09

Решения задач теоретического тура

1. Положение полюса. Одной угловой минуте дуги меридиана соответствует морская миля, 1852 м. (Эту величину можно также найти как 6371 км / (180 · 60/π).) Следовательно, одной угловой секунде будет соответствовать 1852/60 ≈ 31 м, а величине в 0,1″ – 1852/600 ≈ 3,1 м. Учитывая, что в условии дана не точная величина 0,10″, а сказано «около 0,1″», ответ с точностью более одной значащей цифры неуместен. Правильный ответ: около 3 м. Это характерная величина длины «хозяина» Северного полюса – белого медведя. Его и надо изобразить на иллюстрации.

2. Звёздная величина Луны. Казалось бы, приближение к объекту в 10 раз уменьшает его звёздную величину на 5^m. Тогда приближение в 10 000 = 10⁴ раз уменьшает его звёздную величину на 4 · 5^m = 20^m. Звёздная величина Луны стала бы равной –12,7^m – 20^m = –32,7^m? Так ли? Получается, что Луна в этом случае светит в 230 раз ярче Солнца!

В действительности правило уменьшения звёздной величины на 5^m при приближении к объекту в 10 раз действует лишь для точечных объектов или объектов, для которых применимо использование приближений малых углов, т.е. если приближение к объекту в 10 раз увеличивает его видимую угловую площадь в 100 раз. Действительно, уменьшение звёздной величины таких протяжённых объектов, как лунный диск, связано именно с увеличением видимой угловой площади объекта при сохранении его яркости.

Угловая площадь видимой с Земли Луны равна π (4,6 · 10^-3 рад)² = 6,7 · 10^-5 рад². При использовании приближений малых углов приближение 10⁴ раз увеличило бы видимую площадь в 108 раз, она бы стала равной 6,7 · 10³ рад². Однако эта площадь никак не может быть больше полупространства, т.е. 2π рад² ≈ 6,3 рад². То есть при вычислениях мы завысили площадь как минимум в 1060 раз или ошиблись в звёздной величине как минимум в 2,5^m · lg(1060) = 7,6^m. Таким образом, звёздная величина лунного диска не может быть меньше –25,1^m.

Более точные подсчёты показывают, что при приближении к поверхности Луны в 10 000 раз (примерно с 380 тыс. км до 38 км) видимая площадь лунной поверхности увеличивается в 90 000 раз и (в данной модели той же яркости лунной поверхности) звёздная величина будет равна –12,7^m – 5^m · lg(90 000) ≈ –25,1^m.

3. Гравитационная постоянная. Согласно обобщённому третьему закону Кеплера, GM = 4π²R³/T². Подставляя 1 массу Солнца, 1 год и 1 а.е., получаем:

G = 4π²(а.е.)³/(год)²M_S ⇒ G = 39,48 (а.е.)³/(год)²M_S .

Другой способ – взять величину G в системе СИ:

G = 6,672 · 10^-11 н · м²/кг² = 6,672 · 10^-11 м³/кг · с²

и пересчитать её, используя значения массы Солнца, года и астрономической единицы, взятые из таблиц. Метр надо заменить на 1/149 597 870 000 а.е., секунду – на 1/(365,26 · 24 · 60 · 60) года, килограмм – на 1/(1,989 · 10³⁰) массы Солнца:

4. Поле зрения. Через зенит могут проходить лишь звёзды, склонение которых равно широте местности. Бюракан расположен на широте 40° 20′. По небосклону эти звёзды движутся с угловой скоростью (360°/23ч 56м) cosφ. Для широты φ = 40° 20′ получаем 11,47′ в минуту. За 2 мин 38 с звезда пройдёт около 30,2′. Следовательно, таково поле зрения телескопа, и Луна, как правило (за исключением её положений вблизи апогея), не будет полностью попадать в это поле зрения.

5. Снижение спутника. Для решения задачи перейдём в систему отсчёта, вращающуюся вокруг Земли вместе со спутником. В ней на спутник действуют две силы: центробежная формула2 и гравитационная формула3 где υ₀ и υ₁ – круговая и уменьшенная на 1% скорости движения спутника на высоте H = 400 км, а R = R₃ + H – радиус этой орбиты. Получаем, что в этой системе отсчёта в первые минуты после уменьшения скорости спутник просто падает на Землю с постоянным ускорением

где g₁ – ускорение свободного падения на высоте H.

Из формулы ∆H = at²/2 находим время падения формула6 Важно, что способ применим лишь к начальному участку «падения» спутника, для tT.

6. Новая в Лебеде. Исходя из приведённых данных можно предположить, что оболочка расширяется более или менее равномерно (диаметр 20″ через 5 лет после вспышки, 40″ – через 10 лет после вспышки), причём видимый с Земли угловой радиус оболочки увеличивается со скоростью 2″ в год.

Согласно эффекту Доплера, υ/c = ∆λ/λ. Таким образом, спектроскопические данные говорят о том, что оболочка расширяется с физической скоростью υ = c(28 Å/4861Å) ≈ 1730 км/с ≈ 5,5 · 10¹⁰ км/год ≈ 360 а.е./год.

Таким образом, физические 360 а.е. мы видим как угловые 2″, следовательно, до звезды 360/2 = 180 пк. Её абсолютная звёздная величина на 5 · lg(180 пк/10 пк) = 6,3^m меньше видимой. Таким образом, если на момент вспышки её видимая звёздная величина, как видим из графика, составляла 4,5^m, то абсолютная величина была равна M = 4,5^m – 6,3^m = –1,8^m.

Примечание. Решение дано в рамках предложенной в условии задачи модели об образовании и расширении оболочки. Полученная величина не очень согласуется с типичными значениями абсолютных звёздных величин новых звёзд (порядок которых составляет –10^m). Существуют также иные модели объяснения эффекта.