Абитуриенту

МГУ им. М.В. Ломоносова: ВМК-2008

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет вычислительной математики

1. МЕХАНИКА

1. Колесо радиусом R катится без проскальзывания по горизонтальной дороге с ускорением a. Какие ускорения относительно неподвижной системы отсчёта имеют точки A и B, расположенные на горизонтальном диаметре колеса в тот момент, когда скорость центра колеса равна v?

Решение

В системе отсчёта, связанной с центром колеса, все точки на ободе движутся по окружности радиусом R. Так как качение колеса происходит без проскальзывания, модуль тангенциального ускорения точек на ободе a_t = a. Модуль нормального ускорения этих точек При переходе к неподвижной системе отсчёта к ускорению каждой точки нужно прибавить ускорение центра колеса. В проекции на горизонтальную ось X, направленную по ускорению центра колеса, имеем:

В проекции на вертикальную ось Y, направленную вверх, a_Ay = a, a_By = –a.

Учитывая, что  получаем ответ:

2. Стержень скользит по инерции по гладкому горизонтальному столу. В некоторый момент времени в неподвижной системе отсчёта скорости концов стержня составляют с направлением стержня углы и . Какой угол образует со стержнем в этот момент скорость его центра?

Решение

Поскольку длина стержня постоянна, проекции скоростей всех его точек на направление стержня одинаковы. Отсюда, в частности, следуют равенства – модули скоростей концов стержня и скорости его центра. В системе отсчёта, движущейся поступательно со скоростью v_ц, стержень совершает только вращательное движение вокруг центра, причём скорости его концов равны по модулю и направлены противоположно. Из рисунка видно, что

Объединяя выписанные соотношения, приходим к равенству:

Отсюда следует ответ:

3. Малая планета имеет форму шара радиусом
R = 5 км. Считая планету однородной с плотностью найдите ускорение свободного падения g на её поверхности. Какова первая космическая скорость v_1к для этой планеты? Гравитационная постоянная G = 6,67 · 10^–11 Н · м²/кг².

Решение

По закону всемирного тяготения, ускорение свободного падения на поверхности планеты где – масса планеты. Из уравнения движения тела массой  по круговой орбите радиусом R, а именно следует, что первая космическая скорость равна

Подставляя численные значения, получим  

4. Два шарика одинакового диаметра, имеющие массы m₁ и m₂ (m₁ > m₂), связаны между собой лёгкой нерастяжимой нитью, длина которой значительно превышает диаметр шариков. Шарики сбросили с достаточно большой высоты. Спустя некоторое время после этого вследствие сопротивления воздуха скорость падения шариков стала постоянной. Найдите  натяжение нити T при установившемся падении шариков. Ускорение свободного падения g.

Решение

При установившемся падении шарики движутся вертикально вниз с постоянной скоростью, причём снизу находится более тяжелый шарик. Обозначив через F модуль силы сопротивления воздуха, одинаковой для обоих шариков, запишем второй закон Ньютона:
Исключая из этих равенств F, получаем ответ:

5. Клин с углом при вершине находится на горизонтальном столе. На поверхности клина располагается брусок массой m, к которому привязана невесомая нерастяжимая нить. Второй конец нити перекинут через блок на клине и прикреплён к неподвижной опоре. При этом отрезок нити от опоры до блока горизонтален, а отрезок нити от блока до бруска параллелен поверхности клина. Найдите модуль T силы натяжения нити, если клин двигают по столу вправо с ускорением. Движение всех тел происходит в плоскости рисунка. Трением пренебречь.

Решение

Ускорение a бруска в неподвижной системе отсчёта равно a = + a_отн.

При этом относительное ускорение бруска a_отн направлено вдоль наклонной поверхности клина вверх и, поскольку длина нити постоянна, по модулю совпадает с . Из рисунка (а) видно, что а вектор a

образует с вертикалью угол Силы, действующие на брусок в неподвижной системе отсчёта, изображены на рисунке (б), где m g – сила тяжести, T – сила натяжения нити, N – сила реакции наклонной поверхности клина. Записывая уравнение движения бруска в проекции на ось X, имеем:

Используя полученное выше выражение для a, а также формулу получаем ответ:

6. Горизонтальный участок шоссе представляет собой дугу окружности радиусом R = 100 м с центральным углом = 30°, переходящую в прямолинейный отрезок. Автомобиль со всеми ведущими колесами, стоявший в начале криволинейного участка, начинает разгоняться с постоянным тангенциальным ускорением. С какой максимальной по модулю скоростью   может выехать автомобиль на прямолинейный участок, если коэффициент трения между шинами автомобиля и полотном шоссе ? Ускорение свободного падения считать равным g = 10 м/c².

Решение

Максимально возможное значение ускорения автомобиля ограничивается максимальной величиной силы трения покоя и составляет Вектор ускорения автомобиля может быть представлен в виде где a_n и – нормальная и тангенциальная составляющие ускорения, причём Нормальное ускорение  максимально в конце пути по дуге, когда скорость автомобиля максимальна. Тангенциальное ускорение, по условию, постоянно. Поэтому скорость, которую будет иметь автомобиль в конце пути по дуге, равна

Нормальное ускорение автомобиля в этот момент будет Из условия  находим

Отметим, что т.е. при разгоне автомобиль движется без проскальзывания. Отсюда:

Продолжение следует