Материал к уроку

Физико-математический подход к экологическим проблемам

Пришло время, когда международное сообщество начинает понимать, какое влияние оказывает на развитие общества и на окружающую среду практически неуправляемый рост численности населения (в особенности в так называемых южных регионах), законы рыночной экономики [1]. Еще в 1992 г. Конференция ООН по окружающей среде и развитию (Рио-де-Жанейро) подтвердила необходимость перехода челове­ческой цивилизации к устойчивому развитию [2]. В литературе под термином «устойчивое развитие» понимается такое развитие, которое обеспечивает удовлетворение потребностей и чаяний настоящего поколения без риска для будущих поколений. В дальнейшем ООН своим решением объявила 2005–2015 гг. декадой образования в интересах устойчивого развития, основная задача которой сформулирована как образование, включающее знания и умения, необходимые для обеспечения гармоничного сосуществования людей с другими людьми и с окружающей средой с целью практической реализации приоритетов концепции устойчивого развития (УР) [3]. Итак, ООН констатировала, что экономический рост без экологического равновесия невозможен. Хотя рост ВВП и приносит кратковременный положительный эффект, ущерб, причинённый экологии, резко снижает потенциал производительности в будущем, негативно влияя на окружающую среду и на здоровье населения, особенно подрастающего поколения, и вызывая дополнительные расходы на здравоохранение. По оценкам экспертов, политика, направленная на защиту окружающей среды, приносит ощутимую экономическую выгоду, если она приводит к снижению объёма потребления сырья, уменьшению отходов, к энерго- и ресурсосберегающим инновациям в технологической сфере. Как видим, одной из важнейших составных частей концепции УР является формирование экологической культуры всего населения, в том числе учащейся молодёжи.

В настоящее время в РФ принят так называемый интегрированный вариант экологического образования: экологический материал рассредоточен по ряду учебных дисциплин, т.е., как говорят специалисты, экология как предмет имеет междисциплинарный, интегрированный характер. Согласно образовательным стандартам, «экологическую нагрузку» несут все предметы. Например, в общеобразовательной школе введены три интегрированных курса: биология–экология, химия–экология, география–экология. Вместе с тем места таким фундаментальным дисциплинам, как математика, физика в этой системе не нашлось. Эти важнейшие предметы пока не в полной мере выполняют свою роль в экологически ориентированной пропаганде достижений научно-технического прогресса (НТП).

В условиях модернизации образования, обновления его содержания и утверждения его межпредметной, интегрирующей модели резко возрастает роль школьного курса математики. Успешное формирование у учащихся современного эколого-экономического мышления без использования математических средств обу­чения затруднено и педагогически малоэффективно. В содержательном и методическом планах без применения математических моделей, уравнений и оценочных формул очень сложно, порой невозможно, объяснить многие важнейшие процессы, в частности, в системе природа (естественно-научные дисциплины)–общество (экономика, обществознание)–человек. Кроме того, мы считаем, что в системе интегрированного экологического образования физика должна играть подобающую ей роль, т.к. целый ряд биосферных процессов и эколого-экономических проблем, порождённых хозяйственной деятельностью человека, имеют физическую природу. Например, физика как основа НТП имеет прямое отношение ко всем экологическим проблемам современности (парниковый эффект, кислотные дожди, озоновые дыры, электромагнитное, радиационное, шумовое, тепловое загрязнения и т.д.). Проблемы материальных ресурсов, энергетики, альтернативных источников энергии, их экологических аспектов и т.д. являются стержнем концепции перехода к обществу УР.

С другой стороны, при использовании материала физического, биологического, технологического, экологического, экономического характера на уроках математики и физики с привлечением межпредметных ситуаций отвлечённые и непонятные математические формулы и модели приобретают смысл, и «сухая», «скучная» математика оживает. Материал становится интересным для учащихся. Так, многие процессы в биологии, физике, социологии описываются экспоненциальными зависимостями, например, законы распространения тепла и излучений, закон радиоактивного распада, рост численности населения. Их математическое описание доступно ученику 11-го класса даже общеобразовательной школы, знакомому с составлением и решением простейших дифференциальных уравнений.

Проанализируем некоторые, на наш взгляд, наиболее яркие примеры, которые на слуху у всего населения, в том числе и у учащихся.

Первая известная нам модель роста народонаселения по Мальтусу моделируется хорошо известной школьникам математической формулой геометрической прогрессии. В справочниках советской эпохи так и писали: «...реакционный английский экономист Томас Мальтус (T.-R.Malthus) ещё в конце XVIII столетия (в книге «An Essay on the Principle of Population», 1798 г.) пришёл к выводу, что человечество неминуемо встретится с кризисными явлениями в результате нехватки продовольствия по той простой причине, что последнее увеличивается в арифметической прогрессии, а население Земли растёт в геометрической».

Уравнение роста населения, по Мальтусу, можно записать и привести к экспоненте:

N = N₀ · 2^t/T, (1)

где Т – время удвоения населения, N₀ – численность населения в начале измерений.

С другой стороны, дифференциальное уравнение роста народонаселения dN/dt = aN легко приводится к другому виду экспоненциальной зависимости:

N(t) = N₀ · e^at, (2)

где а = b – c – некоторый постоянный коэффициент неограниченного размножения при неограниченном росте, b – коэффициент рождаемости, с – коэффициент смертности.

Мальтус понимал важность проблемы исчерпаемости ресурсов и сделал вывод о том, что в некоторых бедных странах неизбежны кризисы. В качестве рецепта для борьбы с бедностью он предположил необходимость государственных программ ограничения рождаемости. Заметим, что уравнение Мальтуса не содержит членов, ограничивающих рост. В дальнейшем были предложены более сложные формулы с учётом ограничения роста популяций. Наиболее известно логистическое уравнение Ферхюльста (1838 г.), которое при малых числах популяций N совпадает с уравнением Мальтуса, а при больших приближается к определённому пределу N_max [4].

Рассмотрим другой пример экспоненциальной зависимости. Вывод закона радиоактивного распада через дифференциальное уравнение даётся, например, в учебнике физики под ред. А.А.Пинского [5]:

где λ – постоянная распада, N₀ – число радиоактивных ядер в начале измерений.

А в учебниках физики [6, 7] даётся формула того же закона через геометрическую прогрессию:

N = N₀ · 2^–t/T, (4)

где Т – период полураспада радиоактивного вещества.

Изменение численности народонаселения, когда основной характеристикой являются темпы роста, описывают через показательную функцию:

N = N₀ · (1 + K)ⁿ, (5)

где K – коэффициент ежегодного прироста (в долях), n – число лет.

Приведём примеры применения последней математической зависимости. Прогресс человечества непосредственно связан с производством энергии. Рост производства энергии приводит к увеличению средней продолжительности жизни людей и к общему росту населения, что, в свою очередь, приводит к необходимости увеличения производства пищи (увеличения площади пастбищ, пахотных земель за счёт уничтожения лесов – «лёгких» Земли), создания более мощных орудий производства и новых технологий. Приведём оценки:

– численность населения планеты растёт на 1,3% в год, удваиваясь каждые 52 года (оценка по формуле N = 2N₀ = N₀ ·1,013ⁿ, где n – число лет);

– производство пищи растёт на 2,3% в год и удваивается каждые 30 лет;

– используемая для производства пищи энергия растет на 5% в год, удваиваясь каждые 14 лет;

– производство удобрений растёт на 7% в год, удваиваясь каждые 10 лет;

– производство ядохимикатов растёт на 10% в год, удваиваясь каждые 7 лет.

Хотя сейчас население растёт медленнее, чем объём производимой пищи, однако это кратковременные успехи мирового хозяйствования. С учётом роста вредных факторов (производства удобрений, ядохимикатов и т.п.) увеличение производства пищи (и питьевой воды!) поддерживать в будущем будет весьма проблематично, если не найдутся неожиданные пути решения. Совершенно очевидно истощение запасов органического и минерального сырья на Земле, разрушение и всё большее загрязнение среды. Запасы конечны и невозобновляемы, поэтому нынешняя мощь человечества, как ни печально, конечна во времени!

Аналогичной формулой, очевидно, описываются законы экономического роста в индустриальном мире – внутреннего валового продукта (ВВП) страны, объёмов товаров, услуг и т.д., если известны коэффициенты ежегодного прироста K (выражаемые в долях или процентах). Например, в последнее время в СМИ обсуждается правительственная программа удвоения ВВП России в два раза за 10 лет. Возможно ли это? Оценка по формуле (5) даёт, что при этом ежегодный прирост ВВП должен превышать 7%!

Если имеет место ежегодная убыль (отрицательный прирост, например, коэффициент инфляции уменьшает реальный доход населения страны) на K, то верной окажется формула

N = N₀ · (1 - K)ⁿ. (6)

Используя формулы (5, 6), можно смоделировать рост и реального дохода бюджетников страны при наблюдаемом росте их зарплаты (положительный коэффициент – K_р), и темпов инфляции (отрицательный коэффициент – K_и). Взяв усреднённые данные за 2006 г., K_р = 27%, K_и = 12%, по формуле (5) получим возможное время удвоения реального дохода бюджетников при неизменных коэффициентах K_р  и Kи к 2010 г. (Однако реалии совершенно другие: взятые за основу модели коэффициенты ежегодно меняются!)

Простым сопоставлением приведённых математических выражений (1), (2) и (5) можно установить, что все они являются показательными функциями с разными основаниями: либо е ≈ 2,73 – при описании процесса экспонентой, либо 2 – при использовании геометрической прогрессии с периодом Т изменения количественной характеристики в 2 раза, либо (1 ± K) – при заданном значении ежегодного прироста анализируемой величины.

Проводя стандартные математические преобразования, можно получить соотношения^* между числовыми характеристиками разных законов роста. Например:

– в законе роста по геометрической прогрессии (2) время удвоения связано с постоянной λ из экспоненциального закона (1) формулой

– в законе роста по показательной функции время удвоения Т связано с коэффициентом K (в долях) формулой:

В то же время многие исследователи, учитывая, что ln2 ≈ 0,693, часто используют простую математическую зависимость между временем удвоения Т параметра N и темпом его годового прироста K [1]:

Естественным становится вопрос: насколько правомочно использование формулы (8) вместо (7)? Проведённая нами оценка представлена в табл. 1.

Как можно заметить, пользоваться приближённой формулой времени удвоения Т параметра N можно лишь в определённых пределах, с учётом допустимой в конкретных расчётах ошибки.

В заключение приводим ряд полезных сведений.

• В табл. 2 – данные о динамике некоторых жизненно важных мировых характеристик.

Таблица 1

K (в долях)	Время удвоения параметра Т (годы)		Расхождение зависимостей Т1 и Т2
	Т1 – по (7)	Т2  – по (8)	Т1 – Т2
0,01	69,66	72	–2,34	–3,36%
0,02	35,00	36	–1,00	–2,85%
0,03	23,45	24	–0,55	–2,35%
0,04	17,67	18	–0,33	–1,85%
0,05	14,21	14,4	–0,19	–1,36%
0,07	10,24	10,3	–0,04	–0,40%
0,08	9,01	9	0,01	0,07%
0,1	7,27	7,2	0,07	1,00%
0,15	4,96	4,8	0,16	3,22%
0,25	3,11	2,88	0,23	7,28%
0,3	2,64	2,4	0,24	9,16%
0,5	1,71	1,44	0,27	15,77%
1	1	0,72	0,28	28,00%

 

Таблица 2

Характеристика (параметр)	Годовой темп изменения характеристики (параметра), %	Время изменения параметра в 2 раза, лет
Рост энергопотребления (рост экономики)	2,0**	35
Рост населения	1,3***	52
Истощение озонового слоя	1,0–2,0	35–70
Уменьшение биоразнообразия	0,65	107
Опустынивание	0,4	175
Увеличение площади деградированной почвы	0,4	175
Уменьшение площади лесов	1,5 – 2	35–47****
Сведение тропических лесов	0,9	77*****

 

• Используя формулы (3) и (4) получим для активности радионуклидного источника или препарата A = |dN/dt| выражения [5–7]:

Таким образом, зная Т и N₀ исследуемого материала, можно оценить его активность А спустя некоторое время t с начала измерения. Заметим, что активность радиоактивного вещества оценивается по тем же зависимостям – экспоненте или геометрической прогрессии – и убывает в 2 раза за период полураспада Т.

Например, в результате Чернобыльской аварии из накопленных в реакторе 450 типов радионуклидов с общей активностью более 200 МКи в окружающую среду попали нуклиды с общей активностью 50 МКи [8–10]. 80% этой активности (40 МКи) пришлось на изотоп йода-131 (с периодом полураспада Т ≈ 8,06  сут.), а 20% (т.е. 10 МКи) – в основном на изотопы цезия-137 (аналога калия), стронция-90 (аналога кальция, T около 30 лет) и в меньшей степени на другие более долгоживущие изотопы: плутоний-239 (аналог железа, Т около 24 тыс. лет) и др. Таким образом, Чернобыльская авария ещё долгие годы и даже столетия будет напоминать о себе. Изотоп же йода-131 в Чернобыльской зоне давно исчез.

В завершение отметим, что сделанные самими учащимися оценки дают большую пищу для ума, заставляют их самих больше задуматься над поднятыми проблемами. И здесь велика роль учителей математики и физики, подготовленных к организации такой работы в школе.

 

Литература

1. Медоуз Д.Х., Медоуз Д.Л., Рандерс Й. Пределы роста. 30 лет спустя. – М.: ИКЦ «Академкнига», 2007.
2. Миркин Б.М., Наумова Л.Г. Курс лекций по устойчивому развитию. – Библиотека журнала «Экология и жизнь», 2005.
3. Касимов Н.С. От экологического образования к образованию для устойчивого развития. – Экология и жизнь, 2006, № 9.
4. Романовский М.Ю., Романовский Ю.М. Введение в статистическую и динамическую эконофизику (курс лекций). Ч. 2. – М.: МГУ, 2005.
5. Физика-11: Учебное пособие для школ и классов с углубл. изуч. физики: Под ред. А.А.Пинского. – М.: Просвещение.
6. Касьянов В.А. Физика-11: Учебн. для общеобразоват. учреждений. – М.: Дрофа, 2003.
7. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Физика-11: Учебн. для общеобразоват. учреждений. – М.: Просвещение, 2002.
8. Матвеев Л.В., Рудик А.П. Почти всё о ядерном реакторе. – М.: Энергоиздат, 1990.
9. Савенко В.С. Радиоэкология. – Минск: Дизайн ПРО, 1997.
10. Колдобский А.Б. Ионизирующие излучения. Биологическое воздействие. – Библиотечка «Первое сентября», серия «Физика», 2005, № 2.

 

Шамиль Габдинурович Зиятдинов – проректор по научной работе Бирской государственной социально-педагогической академии, к.ф.-м.н., почётный работник высшего профессионального образования РФ. Окончив школу им. Г.Батырши в с. Верхнекарышево Балтачевского района республики Башкортостан в 1967 г., поступил на физмат Бирского ГПИ, ныне академии, которую успешно окончил в 1972 г. Проработав год в родной школе учителем физики и математики, отслужил в армии и с 1974 г. свою жизнь связал с физико-математическом факультетом Бирского ГПИ. Повезло с учителями: в начальной школе учила мама, любовь к математике привили Асия Гатиевна Юсупова, к физике – Пётр Павлович Кондратьев, а в институте – Яков Ефимович Амстиславский, Илюс Мубарякович Низамов (ученик А.В.Пёрышкина) и Филипп Алексеевич Мамаев. Начало научной деятельности пришлось на годы стажировки и аспирантуры в МГПИ им. В.И.Ленина, (ныне МПГУ). Помогли подготовить и защитить кандидатскую диссертацию Светлана Зиновьевна Бубман и Ирина Васильевна Разумовская. Особенно яркие впечатления остались от 15-летней работы в лицее при Бирском ГПИ с момента его открытия в 1991 г. (одном из первых в Башкортостане). С самого начала лицеисты успешно поступали в МГУ им М.В.Ломоносова, МФТИ, самые престижные вузы республики, потом показывали высокие результаты при сдаче ЕГЭ, выбирали физико-математические и технические специальности. В дальнейшем многие защитили диссертации. Работа в лицее открыла новую область методики преподавания физики в инновационных школах. В связи с тем, что диссертация была связана с радиационной физикой, а в год защиты произошла Чернобыльская катастрофа и в Башкортостане строили атомную электростанцию, Шамиль Габдинурович предложил ввести спецкурс, знакомящий будущих учителей физики с основными положениями ядерной энергетики и её экологическими проблемами. Со временем этот курс значительно расширился в связи с ухудшением общей экологической ситуации в республике, стране и мире, и профессор МПГУ Наталья Сергеевна Пурышева предложила тему докторской диссертации, над которой юбиляр в данный момент и работает: опубликовал ряд интересных учебных пособий, монографий, статей, методических разработок. Последнее учебное пособие «Экологические проблемы современности в курсе физики» стало лауреатом конкурса на лучшую научную книгу 2008 г., организованного Фондом развития отечественного образования. В семье много учителей (физики, математики и др.). Супруга – преподаватель французского и немецкого в БГСПА, постоянный редактор работ Шамиля Габдинуровича, оба сына окончили физфак МГУ и учатся в аспирантуре.

От всей души желаем Шамилю Габдинуровичу здоровья и творческих успехов!

Вы блестящий учитель, у вас прекрасные ученики!

---

Вариант публикации в журнале «Экология и жизнь», 2008, № 8. Сайт журнала http://www.ecolife.ru.

^* Мне кажется, что и учащиеся, и учителя должны представлять, что в литературе встречаются и приближённые формулы, и уравнения, хорошо описывающие реальные процессы, но в определённых границах. Всё зависит от принятой модели, требуемой точности и пределов погрешности оценки. Задачу сравнения формул можно дать на уроках информатики заранее (на компьютере это сделать довольно просто даже среднему ученику).

^** 1985–1990 гг.

^*** В справочниках 1980–1990-х гг. приводится ежегодный прирост населения в мире 1,7% и время удвоения 41 год. Темпы роста населения падают, и, как указывают демографы, к 2100 г. численность населения должна стабилизироваться на уровне 11–12 млрд чел.

^**** Общая площадь лесов уменьшается на 15% каждые 25 лет. На 10 га вырубленных лесов приходится всего 1 га лесных посадок.

^***** К настоящему времени площадь влажных тропических лесов в Латинской Америке сократилась на 37% от пер­воначальной, в Азии – на 42%, в Африке – на 52%.