Ещё раз о космическом лифте

Потенциальная энергия единицы массы спутника Земли зависит только от расстояния от центра Земли. Такое потенциальное поле называют центральным. В этом поле при движении тела сохраняется сумма его кинетической и потенциальной энергии, а также момент импульса M = [R • p] , где – импульс тела, |R| – расстояние от центра Земли.

Поднять тело на высоту R > R_З можно, задав ему начальную скорость в направлении радиуса Земли. Вблизи поверхности Земли, если считать g постоянным, выполняется равенство .

Когда тело достигнет высоты R, скорость его уменьшится до нуля, тело станет падать обратно на Землю, и при R = R_З его скорость приобретёт первоначальное значение по величине. Если же телу на нужной высоте R придать скорость направленную перпендикулярно радиусу Земли, то оно приобретёт момент импульса, который сохраняется в центральном потенциальном поле, т.е. тело станет спутником Земли.

В НИСО соотношение сил, действующих на вращающееся вокруг Земли тело – силы притяжения Земли и центробежной силы, – можно легко увидеть из графиков, построенных в двойном логарифмическом масштабе, где все функции Rⁿ представляют собой прямые, угол наклона которых к оси абсцисс определяется величиной и знаком n.

На приведённом графике показаны зависимости силы F_Н притяжения Землёй тела единичной массы от относительного расстояния N = R/R_З (N = 1 при R = R_З), а также центробежных сил, действующие на суточный спутник F_{ц сп} и на Луну F_{ц Л}. По горизонтальной оси отложено расстояние от центра Земли в относительных единицах N, а по вертикальной оси – величина сил, действующих на единицу массы спутника: силы Ньютона , где g₀ – ускорение свободного падения на поверхности Земли, и центробежной силы

При равенстве этих сил по величине наступает невесомость. Этому моменту соответствует точка пересечения прямых F_Н (N) и F_ц (N), абсцисса которой N определяет высоту орбиты R = NR_З. (Отметим, что изменение угловой скорости вращения спутника приводит к параллельному переносу прямой F_ц.)

Видно, что суточный спутник вращается на высоте N 6,6 (R 42 000 км), а Луна – на высоте N 60 (R 384 000 км). Реальные спутники и космические станции вращаются близко к поверхности Земли (R R_З, N 1).

Что касается космического лифта (см. статью В.В.Порфирьева «О космическом лифте Арцутанова» в № 1/07), то очевидно, что поднять груз с помощью суточного спутника мы можем, прикрепив к нему канат и создав натяжение T. В этом случае на спутник будет действовать сила F_Н + T. Соответствующая кривая представлена на графике для T = 0,1 от веса спутника. Видно, что для сохранения угловой (суточной) скорости вращения спутник надо сразу же поднимать на более высокую орбиту, т.к. кривые – сила Ньютона плюс натяжение каната и центробежная сила – пересекутся уже при N = 30 (R 192 000 км). Эта дополнительная затрата энергии будет превосходить затраты энергии на подъём груза общепринятыми способами.