Главная страница «Первого сентября»Главная страница журнала «Физика»Содержание №9/2005
65-я Московская региональная олимпиада школьников по физике-2004

О.Ю.Шведов, С.Д.Варламов, М.В.Семёнов, А.И.Елантьев,
В.А.Погожев, Д.Э.Харабадзе, Д.А.Ягнятинский, А.А.Якута,
К.В.Дмитриев, В.В.Птушенко, А.В.Андрианов, К.В.Башевой,
А.Р.Зильберман, Ю.В.Старокуров yakuta@genphys.phys.msu.ru

Продолжение. См. № 1, 3, 5, 7,/05

65-я Московская региональная олимпиада школьников по физике-2004

7–11-й классы

11-й класс (окончание)

Задача 2

Цикл теплового двигателя, в котором в качестве рабочего тела используется 1 моль идеального одноатомного газа, состоит из трёх участков – изобарического, изохорического и адиабатического, – причём отношение максимального объёма газа к его минимальному объёму в этом цикле n = 8. Найдите, какое наибольшее значение может принимать КПД двигателя, работающего по такому циклу, если при адиабатическом процессе объём V и давление p данного газа удовлетворяют соотношению pV5/3 = const.

Решение

Условию задачи удовлетворяют два цикла, p, V-диаграммы для которых показаны на рис. 1, а и б. Обозначим значения максимального и минимального давлений газа в этих циклах через pmax и pmin, а значения максимального и минимального объёмов газа в них – через Vmax и Vmin. Тогда для обоих циклов можно записать:

Vmax/Vmin = n; формула

откуда  pmax/pmin = формула.

Рис.1

Пусть температуры газа в состояниях, обозначенных на рисунках цифрами 1, 2 и 3, равны соответственно T1, T2 и T3. В первом цикле (рис. а) газ получает от нагревателя на участке 3стрелка1 количество теплоты

формула

и отдаёт холодильнику на участке 2стрелка3 количество теплоты

формула

КПД этого цикла равен

формула

формула

формула

Во втором цикле (рис. б) газ получает от нагревателя на участке 1стрелка2 количество теплоты

формула

и отдаёт холодильнику на участке 2стрелка3 количество теплоты

формула.

КПД этого процесса равен

формула

формула

формула

Таким образом, КПД двигателя, работающего по указанному в условии задачи циклу, может принимать наибольшее значение

формула

которое реализуется, когда цикл имеет вид, показанный на рис. а.

Рис.1

Задача 3

Пластины плоского конденсатора подключены к батарее с ЭДС Е-мат. и внутренним сопротивлением r. Пластины располагают вертикально и подносят к их нижним краям широкий сосуд с жидкостью плотностью ро1 и диэлектрической проницаемостью эпсилон1. При этом жидкость начинает втягиваться в конденсатор. За время установления равновесия в этой системе в ней выделяется количество теплоты дельтаQ. Какое количество теплоты выделилось бы в данной системе, если бы жидкость в сосуде имела плотность ро2 и диэлектрическую проницаемость эпсилон2? Поверхностным натяжением пренебречь.

Решение

Обозначим высоту пластин конденсатора h, их ширину a, зазор между ними d и будем считать, что h достаточно велико. Предположим, что жидкость втягивается в пространство между пластинами конденсатора очень медленно (для этого её нужно каким-либо образом удерживать, не давая ей разгоняться), и рассмотрим момент времени, когда высота уровня жидкости между пластинами равна x. В этот момент ёмкость конденсатора равна сумме емкостей двух параллельно соединённых конденсаторов – воздушного площадью пластин a(h – x) и заполненного диэлектриком площадью пластин ax:

формула

Пусть при дальнейшем втягивании жидкости высота её уровня увеличится на малую величину дельтаx. Тогда потенциальная энергия столба жидкости увеличится на величину формула что соответствует подъёму слоя массой формула на высоту x от уровня невозмущённой поверхности жидкости в сосуде, а энергия, запасённая в конденсаторе, увеличится на формула

Рисунок

При этом батарея совершит работу формула где формула – заряд, протёкший по цепи при подъёме уровня жидкости на дельтаx. Так как, по нашему предположению, жидкость втягивается в конденсатор медленно, то увеличение её кинетической энергии равно нулю, и джоулево тепло в проводниках не выделяется, поскольку сила тока при медленном перемещении жидкости очень мала. В балансе энергии должна присутствовать работа сил, которые не дают жидкости разгоняться (см. начало решения). В положении равновесия эти силы отсутствуют, и их работой в окрестности положения равновесия нужно пренебречь. Следовательно, закон сохранения энергии для данной системы вблизи положения равновесия имеет вид дельтаA = дельтаW + дельтаU, откуда

формула

Отсюда для высоты установившегося уровня жидкости между пластинами получаем

формула

Пусть теперь жидкость быстро втягивается в конденсатор. Тогда часть совершаемой батареей работы превратится в тепло, а закон сохранения энергии для данной системы запишется в виде:

формула

где дельтаA(x0) – работа, которую совершит батарея при поднятии жидкости из исходного состояния до уровня x0, дельтаW(x0) и дельтаU(x0) – соответствующие изменения энергии конденсатора и потенциальной энергии столба жидкости. Учитывая выражение для x0, имеем:

формула

формула

Итак, мы получили, что формула и не зависит от величины омического сопротивления r электрической цепи. Следовательно, если бы жидкость в сосуде имела плотность ро2 и диэлектрическую проницаемость эпсилон2, то в данной системе выделилось бы количество теплоты
дельтаQ'= формула

Интересно выяснить, какие явления приводят к выделению тепла в данной системе. Если сопротивление r очень велико, то жидкость втягивается в конденсатор очень медленно, без приобретения кинетической энергии, в результате чего большая часть теплоты выделяется в системе на омическом сопротивлении, т.е. представляет собой тепло Джоуля–Ленца. Если же сопротивление r очень мало, то жидкость, наоборот, начинает втягиваться в конденсатор очень быстро, в результате чего разгоняется и проскакивает положение равновесия. В результате этого между пластинами возникают колебания столба жидкости, которые постепенно затухают из-за вязкости. При этом большая часть теплоты выделяется в системе вследствие совершения работы силами вязкого трения. При промежуточном значении сопротивления r теплота выделяется вследствие обоих описанных явлений.

Задача 4

Катушка индуктивности состоит из железного сердечника и намотанной на него проволоки. Катушка подключена к источнику переменного напряжения U(t)=U0cost. Индуктивность катушки равна L, а её омическое сопротивление равно 10–3омегаL. За один период изменения напряжения за счёт потерь на перемагничивание железа в сердечнике выделяется количество теплоты, пропорциональное максимальной величине энергии магнитного поля, запасённой в катушке. Коэффициент пропорциональности равен k=2пи•10–3. Какая средняя мощность потребляется катушкой от источника?

Решение

Запишем закон Ома для замкнутой цепи, содержащей источник, катушку индуктивности и резистор сопротивлением, равным омическому сопротивлению R катушки:

формула

Здесь Ф(t) – магнитный поток через катушку, а I(t) – ток в цепи.

Работа источника за период изменения напряжения равна

формула

Первое слагаемое в этой формуле представляет собой количество теплоты, выделяющееся за период в сердечнике катушки, а второе – количество теплоты, выделяющееся за то же время в обмотке.

Поскольку, по условию, омическое сопротивление катушки много меньше её индуктивного сопротивления и потери энергии на перемагничивание также малы, то при расчёте тока можно пренебречь влиянием потерь и считать катушку идеальной, с чисто индуктивным сопротивлением:

формула

откуда следует, как нетрудно видеть, что ток в цепи должен равняться

формула

По условию, в сердечнике катушки за период T=2пи/омега выделяется количество теплоты

формула

Поскольку среднее значение I2(t) за период равно формула на омическом сопротивлении катушки за период выделится количество теплоты, равное

формула

Таким образом, средняя мощность, потребляемая катушкой от источника, будет равна

формула

при этом половина теплоты выделяется в сердечнике, а другая половина – в обмотке.

Задача 5

Имеется n плоских стеклянных пластинок. При нормальном падении параллельного пучка света на k-ю пластинку от неё отражается доля альфаk, поглощается доля бетаk и пропускается доля гаммаk падающей энергии (альфаk + бетаk + гаммаk = 1, k = 1, 2, … , n) независимо от того, на какую сторону пластинки падает свет. Какая доля энергии света будет отражаться, поглощаться и пропускаться при его падении на систему из всех n пластинок, установленных друг за другом нормально к пучку света? Решите задачу для следующих частных случаев:
а) n = 2, альфаkбетаkгаммаk – любые;
б) n = 3, альфаk = бетаk = гаммаk= 1/3. Интерференцию света не учитывать.

Решение

Рисунок

а) Учтём многократные отражения света при его падении на систему из двух пластинок. Как видно из рисунка, на котором для удобства рассмотрения лучей свет падает на систему наклонно, такая система отражает долю энергии

формула

пропускает долю энергии

формула

и поглощает долю энергии

формула

При вычислении сумм использовалась формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии с положительным знаменателем q<1: формула

б) При исследовании системы из трёх пластинок удобно рассматривать первые две пластинки, как одну, – с коэффициентами отражения альфа12, пропускания гамма12 и поглощения бета12.   Рассчитаем  эти  коэффициенты  при   альфа1=альфа2=гамма1=гамма2=1/3:

формула

формула

формула

При добавлении к такой «составной» пластинке ещё одной пластинки с альфа3=гамма3=1/3 вновь получается система из двух пластинок, для расчёта которой можно использовать полученные выше формулы, заменив в них альфа1 на альфа12, альфа2 на альфа3, гамма1 на гамма12 и гамма2 на гамма3. Таким образом, коэффициенты отражения и пропускания системы из трёх пластинок будут равны:

формула

формула

Коэффициент поглощения этой системы будет равен

формула

Заметим, что при помощи описанного метода можно рассчитать эти коэффициенты для системы из любого количества пластинок n. Для этого нужно представлять уже рассчитанную систему из k пластинок как одну «составную» пластинку, добавлять к ней очередную (k + 1)-ю пластинку и применять формулы для расчёта системы из двух пластинок.