О.Ю.Шведов, С.Д.Варламов, М.В.Семёнов, А.И.Елантьев,
В.А.Погожев, Д.Э.Харабадзе, Д.А.Ягнятинский, А.А.Якута,
К.В.Дмитриев, В.В.Птушенко, А.В.Андрианов, К.В.Башевой,
А.Р.Зильберман, Ю.В.Старокуров yakuta@genphys.phys.msu.ru

Продолжение. См. № 1, 3, 5, 7,/05

65-я Московская региональная олимпиада школьников по физике-2004

7–11-й классы

11-й класс (окончание)

Задача 2

Цикл теплового двигателя, в котором в качестве рабочего тела используется 1 моль идеального одноатомного газа, состоит из трёх участков – изобарического, изохорического и адиабатического, – причём отношение максимального объёма газа к его минимальному объёму в этом цикле n = 8. Найдите, какое наибольшее значение может принимать КПД двигателя, работающего по такому циклу, если при адиабатическом процессе объём V и давление p данного газа удовлетворяют соотношению pV5/3 = const.

Решение

Условию задачи удовлетворяют два цикла, p, V-диаграммы для которых показаны на рис. 1, а и б. Обозначим значения максимального и минимального давлений газа в этих циклах через p_max и p_min, а значения максимального и минимального объёмов газа в них – через V_max и V_min. Тогда для обоих циклов можно записать:

V_max/V_min = n;

откуда  pmax/pmin = .

Пусть температуры газа в состояниях, обозначенных на рисунках цифрами 1, 2 и 3, равны соответственно T₁, T₂ и T₃. В первом цикле (рис. а) газ получает от нагревателя на участке 31 количество теплоты

и отдаёт холодильнику на участке 23 количество теплоты

КПД этого цикла равен

Во втором цикле (рис. б) газ получает от нагревателя на участке 12 количество теплоты

и отдаёт холодильнику на участке 23 количество теплоты

.

КПД этого процесса равен

Таким образом, КПД двигателя, работающего по указанному в условии задачи циклу, может принимать наибольшее значение

которое реализуется, когда цикл имеет вид, показанный на рис. а.

Задача 3

Пластины плоского конденсатора подключены к батарее с ЭДС и внутренним сопротивлением r. Пластины располагают вертикально и подносят к их нижним краям широкий сосуд с жидкостью плотностью ₁ и диэлектрической проницаемостью ₁. При этом жидкость начинает втягиваться в конденсатор. За время установления равновесия в этой системе в ней выделяется количество теплоты Q. Какое количество теплоты выделилось бы в данной системе, если бы жидкость в сосуде имела плотность ₂ и диэлектрическую проницаемость ₂? Поверхностным натяжением пренебречь.

Решение

Обозначим высоту пластин конденсатора h, их ширину a, зазор между ними d и будем считать, что h достаточно велико. Предположим, что жидкость втягивается в пространство между пластинами конденсатора очень медленно (для этого её нужно каким-либо образом удерживать, не давая ей разгоняться), и рассмотрим момент времени, когда высота уровня жидкости между пластинами равна x. В этот момент ёмкость конденсатора равна сумме емкостей двух параллельно соединённых конденсаторов – воздушного площадью пластин a(h – x) и заполненного диэлектриком площадью пластин ax:

Пусть при дальнейшем втягивании жидкости высота её уровня увеличится на малую величину x. Тогда потенциальная энергия столба жидкости увеличится на величину что соответствует подъёму слоя массой на высоту x от уровня невозмущённой поверхности жидкости в сосуде, а энергия, запасённая в конденсаторе, увеличится на

При этом батарея совершит работу где – заряд, протёкший по цепи при подъёме уровня жидкости на x. Так как, по нашему предположению, жидкость втягивается в конденсатор медленно, то увеличение её кинетической энергии равно нулю, и джоулево тепло в проводниках не выделяется, поскольку сила тока при медленном перемещении жидкости очень мала. В балансе энергии должна присутствовать работа сил, которые не дают жидкости разгоняться (см. начало решения). В положении равновесия эти силы отсутствуют, и их работой в окрестности положения равновесия нужно пренебречь. Следовательно, закон сохранения энергии для данной системы вблизи положения равновесия имеет вид A = W + U, откуда

Отсюда для высоты установившегося уровня жидкости между пластинами получаем

Пусть теперь жидкость быстро втягивается в конденсатор. Тогда часть совершаемой батареей работы превратится в тепло, а закон сохранения энергии для данной системы запишется в виде:

где A(x₀) – работа, которую совершит батарея при поднятии жидкости из исходного состояния до уровня x₀, W(x₀) и U(x₀) – соответствующие изменения энергии конденсатора и потенциальной энергии столба жидкости. Учитывая выражение для x₀, имеем:

Итак, мы получили, что и не зависит от величины омического сопротивления r электрической цепи. Следовательно, если бы жидкость в сосуде имела плотность ₂ и диэлектрическую проницаемость ₂, то в данной системе выделилось бы количество теплоты
Q'=

Интересно выяснить, какие явления приводят к выделению тепла в данной системе. Если сопротивление r очень велико, то жидкость втягивается в конденсатор очень медленно, без приобретения кинетической энергии, в результате чего большая часть теплоты выделяется в системе на омическом сопротивлении, т.е. представляет собой тепло Джоуля–Ленца. Если же сопротивление r очень мало, то жидкость, наоборот, начинает втягиваться в конденсатор очень быстро, в результате чего разгоняется и проскакивает положение равновесия. В результате этого между пластинами возникают колебания столба жидкости, которые постепенно затухают из-за вязкости. При этом большая часть теплоты выделяется в системе вследствие совершения работы силами вязкого трения. При промежуточном значении сопротивления r теплота выделяется вследствие обоих описанных явлений.

Задача 4

Катушка индуктивности состоит из железного сердечника и намотанной на него проволоки. Катушка подключена к источнику переменного напряжения U(t)=U₀cost. Индуктивность катушки равна L, а её омическое сопротивление равно 10^–3L. За один период изменения напряжения за счёт потерь на перемагничивание железа в сердечнике выделяется количество теплоты, пропорциональное максимальной величине энергии магнитного поля, запасённой в катушке. Коэффициент пропорциональности равен k=2•10^–3. Какая средняя мощность потребляется катушкой от источника?

Решение

Запишем закон Ома для замкнутой цепи, содержащей источник, катушку индуктивности и резистор сопротивлением, равным омическому сопротивлению R катушки:

Здесь Ф(t) – магнитный поток через катушку, а I(t) – ток в цепи.

Работа источника за период изменения напряжения равна

Первое слагаемое в этой формуле представляет собой количество теплоты, выделяющееся за период в сердечнике катушки, а второе – количество теплоты, выделяющееся за то же время в обмотке.

Поскольку, по условию, омическое сопротивление катушки много меньше её индуктивного сопротивления и потери энергии на перемагничивание также малы, то при расчёте тока можно пренебречь влиянием потерь и считать катушку идеальной, с чисто индуктивным сопротивлением:

откуда следует, как нетрудно видеть, что ток в цепи должен равняться

По условию, в сердечнике катушки за период T=2/ выделяется количество теплоты

Поскольку среднее значение I₂(t) за период равно на омическом сопротивлении катушки за период выделится количество теплоты, равное

Таким образом, средняя мощность, потребляемая катушкой от источника, будет равна

при этом половина теплоты выделяется в сердечнике, а другая половина – в обмотке.

Задача 5

Имеется n плоских стеклянных пластинок. При нормальном падении параллельного пучка света на k-ю пластинку от неё отражается доля k, поглощается доля k и пропускается доля k падающей энергии (k + k + k = 1, k = 1, 2, … , n) независимо от того, на какую сторону пластинки падает свет. Какая доля энергии света будет отражаться, поглощаться и пропускаться при его падении на систему из всех n пластинок, установленных друг за другом нормально к пучку света? Решите задачу для следующих частных случаев:
а) n = 2, k, k, k – любые;
б) n = 3, k = k = k= 1/3. Интерференцию света не учитывать.

Решение

а) Учтём многократные отражения света при его падении на систему из двух пластинок. Как видно из рисунка, на котором для удобства рассмотрения лучей свет падает на систему наклонно, такая система отражает долю энергии

пропускает долю энергии

и поглощает долю энергии

При вычислении сумм использовалась формула для суммы бесконечной геометрической прогрессии с положительным знаменателем q<1:

б) При исследовании системы из трёх пластинок удобно рассматривать первые две пластинки, как одну, – с коэффициентами отражения ₁₂, пропускания ₁₂ и поглощения ₁₂.   Рассчитаем  эти  коэффициенты  при   ₁=₂=₁=₂=1/3:

При добавлении к такой «составной» пластинке ещё одной пластинки с ₃=₃=1/3 вновь получается система из двух пластинок, для расчёта которой можно использовать полученные выше формулы, заменив в них ₁ на ₁₂, ₂ на ₃, ₁ на ₁₂ и ₂ на ₃. Таким образом, коэффициенты отражения и пропускания системы из трёх пластинок будут равны:

Коэффициент поглощения этой системы будет равен

Заметим, что при помощи описанного метода можно рассчитать эти коэффициенты для системы из любого количества пластинок n. Для этого нужно представлять уже рассчитанную систему из k пластинок как одну «составную» пластинку, добавлять к ней очередную (k + 1)-ю пластинку и применять формулы для расчёта системы из двух пластинок.