В.Б.Дроздов,
г. Рязань

От перемены мест поверхностей...

Вывод формулы для расчёта фокусного расстояния тонкой линзы, приводившийся ранее в базовых учебниках [1], в настоящее время исчез даже из учебников для углублённого изучения физики (например, его нет в распространённом учебнике [2]).

Хорошо известно, что линза имеет два фокуса, расположенные симметрично на главной оптической оси. Однако сама линза не симметрична относительно главной плоскости, проходящей через окружность – линию пересечения её сферических поверхностей радиусами R₁ и R₂ соответственно (в общем случае ). Поэтому возникает вопрос: может быть, и фокусы линзы, даже тонкой, не симметричны? Для ответа на него сначала рассмотрим преломление света на сферической поверхности.

Пусть источник света S находится в воздухе (показатель преломления которого считаем равным единице) на расстоянии d от выпуклой сферической стеклянной поверхности с показателем преломления n.

Полагая имеем приближённые равенства:

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, поэтому и Закон преломления света для малых углов упрощается: Комбинируя записанные формулы, получим:

     (1)

Отсутствие величины h в соотношении (1) говорит о том, что все лучи, исходящие из точки S и идущие вблизи главной оптической оси SO, собираются после преломления в одной точке S₁.

Теперь рассмотрим линзу толщиной l радиусами кривизны сферических поверхностей R₁ и R₂.

Применив формулу (1) для обеих поверхностей, соответственно получим:

      (2)

      (3)

Можно считать, что выражение (3) справедливо в силу обратимости световых лучей. Уравнения (2) и (3) вместе с очевидным равенством d₁ + f₁ = l образуют систему, из которой исключаем не нужные для дальнейших вычислений величины d₁ и f₁:

     (4)

При удалении источника света «в бесконечность» его изображение стремится к правому фокусу линзы: Тогда из формулы (4) имеем:

      (5)

Положение левого фокуса определяется аналогичной формулой:

      (6)

Видно, что если и т.е. фокусы линзы, вообще говоря, не симметричны. В частном случае симметричной линзы (R₁=R₂) или тонкой линзы симметричны и её фокусы: F_п=F_л, причём для тонкой линзы

      (7)

Это и есть формула для фокусного расстояния тонкой линзы.

Из приведённых соотношений вытекает весьма любопытный факт, относящийся к линзам с конечной толщиной l. Для его установления положим в формуле (5) (плоскую поверхность рассматриваем как сферическую бесконечного радиуса кривизны). Имеем, как и для тонкой линзы, т.е. фокусное расстояние линзы не зависит от её толщины l.

А вот если то т.е. F зависит от l!

Итак, если свет падает со стороны сферической поверхности плосковыпуклой линзы, то положение её фокуса зависит от толщины линзы, а если свет падает со стороны плоской поверхности, то не зависит. Последнее утверждение справедливо, конечно, и для плосковогнутой линзы, которая в воздухе будет рассеивающей.

Литература

1. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Физика-10. – М.: Просвещение, 1973.
2.  Физика-11: Учебное пособие для школ и классов с углублённым изучением физики. Под ред. А.А.Пинского. – М.: Просвещение, 1994.

---

В статье кратко воспроизведён вывод формул (1)–(3) и рис. 1 и 2 из [1] (я по нему учился), ибо найти эту книгу нелегко, а из последующих изданий данный материал изъят, однако его можно использовать, например, на занятиях физического кружка.