Наклонная плоскость

Как избежать противоречий при решении задач

*Н.Е.Савченко. Решение задач по физике. – Мн.: Вышэйшая школа, 1998.

Речь пойдёт об ошибках, с «завидным» постоянством повторяющихся в различных изданиях учебных пособий. Причём это не отдельные ошибки конкретных авторов, а ошибки типичные, «классические», которые можно обнаружить практически в каждом сборнике задач разных лет издания. Предлагаем рассмотреть традиционно неверно решаемую задачу с переходом от движения по наклонной плоскости к движению по плоскости горизонтальной.

Задача 1*. Санки съезжают с горы высотой h и углом наклона и движутся дальше по горизонтальному участку. Коэффициент трения на всём пути санок одинаков и равен . Определить расстояние s, которое пройдут санки по горизонтальному участку до полной остановки.

Авторское решение. Изменение механической энергии санок равно работе сил трения на наклонном и горизонтальном участках (A1 и A2). Потенциальную энергию будем отсчитывать от основания горы. Тогда получим уравнение:

     (1)

где m – масса санок, l – длина наклонного участка.

Как видно из рисунка, сила трения на наклонном участке F₁ = mgcos , сила трения на горизонтальном участке F₂ = mg. Подставив эти значения в уравнение (1), получим

mgh = mgcos   + mgs,

откуда Этот ответ имеет смысл лишь при  < tg , в противном случае санки не сдвинутся с места (s = 0).

Позволим себе, совершив предельный переход, сделать более подробный анализ. Пусть плоскость горы составляет с горизонтальным участком угол, близкий к 90°, т.е. (действительно, в условии задачи на никаких ограничений не накладывается!). Получаем s=h/. Результат – фантастический: отвесно падающее тело не отскакивает от горизонтальной плоскости, не проникает в неё, не деформируется, а продолжает спокойно скользить в направлении, перпендикулярном первоначальному направлению своего движения. Какая же сила изменила направление скорости на 90°? Совершенно ясно, что такой силы просто нет, т.к. все силы, действующие на данное тело, направлены по вертикали. [Противоречие разрешается скруглением перехода наклонной плоскости в горизонтальную. – Ред.] Далее из ответа следует, что, чем больше , тем больше s, хотя это далеко не так [? – Ред.]. Из этого несложного анализа следует, что ответ, полученный автором, является неверным.

Задач такого типа – множество. Некоторые авторы пытаются обойти это «скользкое» место, делая в условиях оговорки: «Угол достаточно мал»; «Переход от наклонной плоскости к горизонтальной – плавный». После этого они решают свои задачи точно так же, как показано выше.

Давайте посмотрим, разрешают ли эти поправки имеющееся противоречие. Итак, первая поправка: «Угол достаточно мал». Зачем? Для того, чтобы тело не скользило по плоскости? Каким бы малым ни был этот угол, при переходе тела от наклонной плоскости к горизонтальной происходит удар, предполагающий потерю некоторой части кинетической энергии тела. Вторая поправка: что означает выражение «плавный переход»? Тело на некотором участке своей траектории движется по дуге окружности, следовательно, испытывает определённую перегрузку. Значит, на этом участке мы уже не имеем права для определения силы трения пользоваться формулой F_тр = mg cos . Увеличивая плавность перехода (т.е. радиус окружности, по которой движется тело), мы уменьшаем перегрузку, но тем самым увеличиваем протяжённость «проблемного» участка. Уменьшая же радиус кривизны, мы увеличиваем перегрузку. Следовательно, и вторая поправка не решает проблему. Более того, она существенно усложняет решение задачи.

Оправдать решение задачи могло бы следующее дополнение к условию: «Потерями механической энергии при переходе санок от движения по горе к движению по горизонтальному участку пренебречь». Однако подобных дополнений нигде нет.

Понятно, что задачи в большинстве случаев не описывают реальные физические процессы, а дают лишь их идеализированную модель. Но и идеализация уместна лишь до определённых пределов. Если же она приводит к тому, что отвесно падающее тело скользит по горизонтальной плоскости, то мы уже имеем дело с отсутствием физического смысла, что совершенно недопустимо.

Предлагаю следующий подход к решению таких задач. В «переходный» момент тело соударяется с горизонтальной плоскостью. Значит, оно неизбежно передаёт часть импульса (а значит, и часть своей кинетической энергии) Земле. Остаётся лишь определить, какую часть импульса. Разложим импульс тела в момент перед ударом на горизонтальную и вертикальную составляющие p_x и p_y. Если тело не подпрыгивает вследствие удара, составляющая p_y, перпендикулярная горизонтальной плоскости, передаётся Земле. Горизонтальная же составляющая px при этом остаётся неизменной. Подобные рассуждения приводят нас к достаточно точному, имеющему физический смысл ответу.

Решение. Находясь на высоте h в точке А (в своём исходном положении), санки обладают потенциальной энергией (h отсчитываем от осчнования горы). При переходе санок из точки А в точку О их потенциальная энергия частично затрачивается на работу против сил трения (А_тр1), частично превращается в кинетическую энергию (E_к). По закону сохранения энергии:

E_п=A₁+E_к; A₁=mg cos  = ;

В итоге получаем:

Импульс санок раскладываем на две составляющие – горизонтальную и вертикальную. Составляющая импульса py передаётся Земле в результате удара. [Всё же считаем, что переход наклонной плоскости в горизонтальную достаточно плавный и тело не подпрыгивает при ударе. – Ред.] Составляющая px изменений не претерпевает. Следовательно,

В точке O (после удара) санки обладают кинетической энергией которая по достижении конечной точки B (OB=s) расходуется на работу против сил трения: Имеем E_к=A₂.

Решая полученные уравнения, находим

    (3)

Или

Ответ справедлив при  < tg . Проверяем ответ. При путь т.е. противоречие разрешено.

Хочу сразу отметить, что предложенный подход тоже не является описанием реального физического процесса, но тем не менее создаёт достаточно точную модель, не вступающую в противоречия с физическими законами.

В.Л.Акуленко,
Ново-Марковическая школа, Респ. Беларусь

Задача 2*. (*Задача хорошо известна и встречается во многих учебниках). С горки высотой h = 9 м из состояния покоя съезжает небольшое тело. Определите, на каком расстоянии s от подножия горки оно остановится. Наклонный и горизонтальный участки горки плавно соединяются дугой окружности, радиус которой R можно считать малым по сравнению с высотой горки. Угол наклона горки ₀ = 45°, коэффициент трения  = 0,3. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Поскольку сопряжение горки и плоскости плавное, то CA и CB – касательные к окружности и центральный равен ₀. Но надо ли рассматривать такие тонкости, ведь, по условию, Оказывается, надо!

Далее обычно приводится следующее решение. Потенциальная энергия силы тяжести «уходит» на работу против сил трения на всём пути тела. Сила трения скольжения на наклонном участке равна F₁=cos ₀, на горизонтальном F₂=. Длина наклонного участка

Следовательно,  =  ctg ₀ + s. Из последнего уравнения получаем традиционный, но, как будет видно из дальнейшего, ошибочный ответ:

Дело в том, что на криволинейном участке траектории и сила трения может быть значительной, и её работой, несмотря на малость длины дуги AB  пренебрегать нельзя.

Попробуем разобраться. Длина криволинейного участка пропорциональна радиусу кривизны R и стремится к нулю при . Вклад в силу реакции опоры (а с ней и в силу трения) со стороны сил инерции обратно пропорционален R и при стремится к бесконечности: .

При вычислении работы силы трения длина дуги и модуль силы трения перемножаются, и радиус кривизны сокращается. Выходит, что, несмотря на сколь угодно малый радиус окружности, работа сил трения на этом участке не равна нулю.

Определим, чему равна сила трения при движении по дуге окружности:   (угол изменяется от ₀ до 0). Выражая N, находим, что сила трения

     (1)

При вторым слагаемым в сумме можно пренебречь, а значение скорости тела в момент перехода от наклонного участка к криволинейному можно найти из энергетических соображений:

    (2)

где высотой h_A = R(1 – cos ₀) точки A по сравнению с h можно пренебречь.

Таким образом, максимальная сила трения

Оценим работу силы трения на криволинейном участке траектории AAB, не прибегая на первом этапе к интегрированию. Прежде всего отметим, что работой постоянной силы тяжести на малом криволинейном участке пути по сравнению с работой силы трения можно пренебречь. Тогда изменение кинетической энергии тела равно только работе силы трения (1):

.     (3)

Подставляя для оценки в (3) вместо Eк среднюю кинетическую энергию тела (E_A + E_B)/2, а вместо разницу между конечным E_B и начальным E_A значениями кинетической энергии на криволинейном участке, находим

В дифференциальной форме уравнение (3) имеет вид dE_к = –2E_кd, что при интегрировании даёт Как видно, разница между приближённым и точным решениями составляет менее 1%. Работа, совершаемая телом против сил трения на участке AB:

Выходит, что более 26% энергии тела расходуется на преодоление криволинейного участка траектории, длина которого может быть сколь угодно малой. Именно поэтому у подножия снежных горок санки образуют настоящие ямы! Окончательное решение задачи получим, приравняв к mgh работу против сил трения на всех участках траектории:

Имеем   вместо 21 м в традиционном решении.

В заключение отметим ещё раз, что полученный ответ практически не зависит от величины радиуса скругления, единственно, этот радиус должен быть мал.

Литература

Павленко Ю.Г. Начала физики. – М.: Изд. МГУ, 1988.
Орлянский О.Л. Падение с горки, или Инерция мышления. – Поиск, 2000, № 5 (32).

В.А.Спажакин, А.В.Спажакин, И.В.Спажакин,
физфак МГУ им. М.В.Ломоносова, г. Москва