Абитуриенту

Продолжение. См. № 1, 3/05

С.С.Чесноков, С.Ю.Никитин, И.П.Николаев,
Н.Б.Подымова, М.С.Полякова, проф. В.И.Шмальгаузен,
физфак МГУ, г. Москва
chesnok@ msuilc.phys.msu.su

Хочу учиться на ВМК!

Задачи, предлагавшиеся на вступительных экзаменах на факультет
вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Ломоносова в 2004 г.

I. МЕХАНИКА (продолжение)

6   Обруч диаметром D располагается в вертикальной плоскости. В точке A, лежащей на верхнем конце вертикального диаметра обруча, на шарнире закреплен жёлоб, угол наклона которого можно менять. По жёлобу из точки A пускают скользить без начальной скорости небольшой брусок. Найдите зависимость времени , через которое брусок достигнет точки пересечения жёлоба и обруча, от угла , который жёлоб образует с вертикалью. Коэффициент трения бруска о жёлоб , ускорение свободного падения .

Решение

Уравнение движения бруска по жёлобу, составляющему угол с вертикалью, имеет вид:

откуда ускорение бруска

Из кинематического соотношения где L = Dcos – путь, пройденный бруском до точки пересечения жёлоба с обручем, получаем ответ:

В диапазоне время движения бруска увеличивается с ростом . При брусок, предоставленный самому себе, двигаться не будет.

7  На горизонтальной доске, имеющей прямоугольный уступ высотой H = 10 см, располагается вплотную к уступу однородный цилиндр радиусом R = 25 см. Доску начинают двигать с некоторым ускорением a, направленным вправо. Каково максимально возможное значение ускорения amax, при котором цилиндр не будет подниматься на уступ? Все поверхности гладкие. Ускорение свободного падения = 9,8 м/с².

Решение

Пусть ускорение доски таково, что цилиндр не перекатывается через уступ, а движется поступательно вместе с доской. Силы, действующие на цилиндр в этом случае, изображены на рисунке, где через m обозначена сила тяжести (m – масса цилиндра), через N – сила реакции горизонтальной части доски, а через N₁ – сила реакции уступа. Поскольку трение, по условию задачи, пренебрежимо мало, вектор силы N₁ направлен перпендикулярно касательной к поверхности цилиндра, т.е. по радиусу к его оси. В проекциях на горизонтальное и вертикальное направления уравнения движения цилиндра имеют вид:

Если увеличивать ускорение доски, то модуль силы N₁ будет возрастать, а модуль силы N – уменьшаться. Наконец, при максимально возможном ускорении доски, при котором цилиндр ещё не будет подниматься на уступ, N обратится в нуль. Из уравнений движения для этого случая находим

где – угол между горизонталью и вектором N₁. Выражая ctg через заданные в условии радиус цилиндра и высоту уступа, получаем

8  На горизонтальной шероховатой поверхности находится маленький брусок. Если на брусок подействовать в течение очень короткого промежутка времени горизонтальной силой, равной по модулю F и значительно превышающей силу трения скольжения, то после этого брусок пройдёт до остановки путь s₀. Какой путь s пройдёт до остановки этот брусок, если в течение того же промежутка времени на него одновременно подействовать тремя горизонтальными силами с тем же модулем F, две из которых направлены под углами = 60° к третьей?

Решение

Обозначим через t время действия силы F. По закону изменения импульса, имеем где m – масса бруска, ₀ – скорость, которую он приобретает в результате действия силы F (импульсом силы трения за время , по условию задачи, можно пренебречь). По закону изменения механической энергии:

где – коэффициент трения. Величина равнодействующей трёх сил, действующих на брусок одновременно и направленных, как показано на рисунке, равна

Законы изменения импульса и энергии в этом случае дают:

Объединяя записанные выражения, находим

9   Однородная тяжёлая цепочка, состоящая из мелких звеньев, подвешена за концы, как показано на рисунке. Точка C – самая нижняя точка цепочки. Определите массу цепочки m, если известно, что величины силы натяжения цепочки в точках A, B, C равны соответственно T_A, T_B, T_C. Ускорение свободного падения .

Решение

На каждое звено цепочки действуют силы, изображённые на рисунке, где через m обозначена сила тяжести, а через T и T' – силы, приложенные к этому звену со стороны соседних звеньев. Поскольку цепочка висит неподвижно, каждое звено находится в состоянии равновесия и сумма сил, действующих на него, равна нулю. Полагая, что масса каждого звена мала, можно считать, что силы T и T' равны по величине и направлены в противоположные стороны по касательной к цепочке. Модуль каждой из этих сил и представляет собой натяжение цепочки в данном сечении.

На рисунке изображены силы натяжения, действующие на отрезки цепочки AC и CB. Из соображений симметрии ясно, что силы, возникающие в точке C, а именно T_C и T'_C, направлены горизонтально. При этом T '_C = T_C. Условия равновесия цепочки имеют вид:

Исключая из этих равенств углы и , получаем